太郎さんが1年間、家と最寄り駅の間を歩いたときと走ったときの所要時間を計測した。表1は歩いたときの所要時間を表す確率変数 $X$ と、走ったときの所要時間を表す確率変数 $Y$ の分布の特徴をまとめたものである。問題は、以下の内容に関する問いに答える： (1) $P(X \le X_0) = 0.1$ を満たす $X_0$ について考える。 (2) 太郎さんが家と駅の間を100回歩いたとき、$X \le X_0$ となる回数を表す確率変数 $W$ について考える。

1. 問題の内容

太郎さんが1年間、家と最寄り駅の間を歩いたときと走ったときの所要時間を計測した。表1は歩いたときの所要時間を表す確率変数 $X$ と、走ったときの所要時間を表す確率変数 $Y$ の分布の特徴をまとめたものである。問題は、以下の内容に関する問いに答える：

(1) $P(X \le X_0) = 0.1$ を満たす $X_0$ について考える。

(2) 太郎さんが家と駅の間を100回歩いたとき、$X \le X_0$ となる回数を表す確率変数 $W$ について考える。

2. 解き方の手順

(1)

(i) $Z = \frac{X - 9.0}{0.8}$ とすると、$Z$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。$P(Z \le Z_0)$ が0.1に最も近い値をとるような $Z_0$ を正規分布表から読み取る。

正規分布表から $P(Z \le -1.28) \approx 0.1$ であるので、$Z_0 = -1.28$ である。

よって、

$Z_0 = \frac{X_0 - 9.0}{0.8} = -1.28$

$X_0 - 9.0 = -1.28 \times 0.8 = -1.024$

$X_0 = 9.0 - 1.024 = 7.976$

したがって、$X_0$ の値はおよそ 7.98 である。

(ii) $X$ と $Y$ が互いに独立であるとき、太郎さんが家から駅まで歩き、駅から家まで走ったとすると、往復の合計所要時間の平均は $E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 9.0 + 5.0 = 14.0$ である。

標準偏差は $\sqrt{V(X + Y)} = \sqrt{V(X) + V(Y)} = \sqrt{0.8^2 + 0.6^2} = \sqrt{0.64 + 0.36} = \sqrt{1} = 1.0$ である。

(iii) 太郎さんが家と駅の間を100回歩いたとき、$X \le X_0$ となる回数を表す確率変数 $W$ を考える。

$P(X \le X_0) = 0.1$ より、$W$ は二項分布 $B(100, 0.1)$ に従う。標本の大きさ100は十分に大きいので、$W$ は近似的に正規分布 $N(np, np(1-p))$ に従う。

平均は $np = 100 \times 0.1 = 10$

分散は $np(1-p) = 100 \times 0.1 \times (1-0.1) = 10 \times 0.9 = 9$

したがって、$W$ は近似的に正規分布 $N(10, 3^2)$ に従う。

$W$ が4以上13以下となる確率は、標準化すると

$P(4 \le W \le 13) = P(\frac{4-10}{3} \le \frac{W-10}{3} \le \frac{13-10}{3})$

$= P(-2 \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - P(Z \le -2)$

$= P(Z \le 1) - (1 - P(Z \le 2)) = 0.8413 - (1-0.9772) = 0.8413 - 0.0228 = 0.8185 \approx 0.82$

3. 最終的な答え

ア: 14.0

イ: 14

ウ: 1.0

エ: 1

オ: 7.98

カ: -1.28

キク: 7.98

ケ: 10

コサ: 10

シ: 3

スセ: 0.82