袋の中に赤玉が5個、白玉が7個入っている。この袋から同時に4個の玉を取り出すとき、取り出した玉の中に赤玉が3個以上含まれる確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が5個、白玉が7個入っている。この袋から同時に4個の玉を取り出すとき、取り出した玉の中に赤玉が3個以上含まれる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

全事象は、12個の玉から4個を選ぶ組み合わせなので、$_{12}C_4$ となる。

赤玉が3個以上含まれるのは、赤玉が3個の場合と4個の場合の2つの場合に分けられる。

(1) 赤玉が3個の場合：

赤玉3個と白玉1個を取り出す組み合わせは、$_{5}C_3 \times _{7}C_1$ である。

(2) 赤玉が4個の場合：

赤玉4個を取り出す組み合わせは、$_{5}C_4 \times _{7}C_0 = _{5}C_4 \times 1 = _{5}C_4$である。

求める確率は、( (1)の組み合わせ数 + (2)の組み合わせ数 ) / 全事象の組み合わせ数 )で求められる。

それぞれの組み合わせ数を計算する。

$_{12}C_4 = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$

$_{5}C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$_{7}C_1 = 7$

$_{5}C_4 = \frac{5!}{4!1!} = 5$

(1) 赤玉3個、白玉1個の場合の数は $10 \times 7 = 70$

(2) 赤玉4個の場合の数は $5$

したがって、赤玉が3個以上の場合の数は、$70 + 5 = 75$

求める確率は、$\frac{75}{495} = \frac{15}{99} = \frac{5}{33}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{33}$