問題2は、2つのサイコロを振ったときに出た目の和が4の倍数になる場合の数を、サイコロが区別できる場合とできない場合に分けて求める問題です。 問題3は、1個10円、20円、30円のお菓子を合計120円分買うとき、買い方の組み合わせを求める問題です。 (7)ではすべての買い方を数え、(8)では少なくともそれぞれのお菓子を1つずつ含む買い方を数えます。

1. 問題の内容

問題2は、2つのサイコロを振ったときに出た目の和が4の倍数になる場合の数を、サイコロが区別できる場合とできない場合に分けて求める問題です。

問題3は、1個10円、20円、30円のお菓子を合計120円分買うとき、買い方の組み合わせを求める問題です。 (7)ではすべての買い方を数え、(8)では少なくともそれぞれのお菓子を1つずつ含む買い方を数えます。

2. 解き方の手順

問題2(5): サイコロが区別できるとき

2つのサイコロの出目をそれぞれ $a$ と $b$ とします。 $a, b$ はそれぞれ1から6までの整数です。 $a + b$ が4の倍数になるのは $a + b = 4, 8, 12$ の場合です。

* $a + b = 4$ となるのは、(1, 3), (2, 2), (3, 1) の3通り。

* $a + b = 8$ となるのは、(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) の5通り。

* $a + b = 12$ となるのは、(6, 6) の1通り。

したがって、合計で $3 + 5 + 1 = 9$ 通りです。

問題2(6): サイコロが区別できないとき

サイコロの出目を区別しないので、(1, 3) と (3, 1) は同じとみなします。

* $a + b = 4$ となるのは、(1, 3), (2, 2) の2通り。

* $a + b = 8$ となるのは、(2, 6), (3, 5), (4, 4) の3通り。

* $a + b = 12$ となるのは、(6, 6) の1通り。

したがって、合計で $2 + 3 + 1 = 6$ 通りです。

問題3(7): 買い方の総数

10円のお菓子を $x$ 個、20円のお菓子を $y$ 個、30円のお菓子を $z$ 個買うとします。

$10x + 20y + 30z = 120$

両辺を10で割ると、

$x + 2y + 3z = 12$

$z$ について場合分けします。

* $z = 0$ のとき: $x + 2y = 12$。 $y = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ に対して、$x$ が定まるので7通り。

* $z = 1$ のとき: $x + 2y = 9$。 $y = 0, 1, 2, 3, 4$ に対して、$x$ が定まるので5通り。

* $z = 2$ のとき: $x + 2y = 6$。 $y = 0, 1, 2, 3$ に対して、$x$ が定まるので4通り。

* $z = 3$ のとき: $x + 2y = 3$。 $y = 0, 1$ に対して、$x$ が定まるので2通り。

* $z = 4$ のとき: $x + 2y = 0$。 $y = 0$ に対して、$x$ が定まるので1通り。

合計 $7 + 5 + 4 + 2 + 1 = 19$ 通り。

問題3(8): 少なくともそれぞれ1つが含まれる買い方

$x + 2y + 3z = 12$ で、$x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$ を満たすものを探します。

$x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1$ とすると、$x', y', z' \ge 0$ であり、

$(x' + 1) + 2(y' + 1) + 3(z' + 1) = 12$

$x' + 2y' + 3z' = 12 - 1 - 2 - 3 = 6$

* $z' = 0$ のとき: $x' + 2y' = 6$。 $y' = 0, 1, 2, 3$ に対して、$x'$ が定まるので4通り。

* $z' = 1$ のとき: $x' + 2y' = 3$。 $y' = 0, 1$ に対して、$x'$ が定まるので2通り。

* $z' = 2$ のとき: $x' + 2y' = 0$。 $y' = 0$ に対して、$x'$ が定まるので1通り。

合計 $4 + 2 + 1 = 7$ 通り。

3. 最終的な答え

* 問題2(5): 9通り

* 問題2(6): 6通り

* 問題3(7): 19通り

* 問題3(8): 7通り