1から9までの異なる3つの整数を選んで積を作る。 (1) 積が奇数となるような選び方は何通りあるか。 (2) 積が3の倍数となるような選び方は何通りあるか。 (3) 積が6で割り切れないような選び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

1から9までの異なる3つの整数を選んで積を作る。

(1) 積が奇数となるような選び方は何通りあるか。

(2) 積が3の倍数となるような選び方は何通りあるか。

(3) 積が6で割り切れないような選び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 積が奇数となるためには、3つの数すべてが奇数である必要がある。1から9までの奇数は1, 3, 5, 7, 9の5つである。したがって、5つの奇数から3つを選ぶ組み合わせの数を求めればよい。

組み合わせの数は、

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

(2) 積が3の倍数となるためには、少なくとも1つの数が3の倍数である必要がある。1から9までの整数の中で3の倍数は3, 6, 9の3つである。

全体の選び方は$_{9}C_{3}$通りである。

3つとも3の倍数でない数の選び方を求め、全体の選び方から引けば良い。

3の倍数でない数は1, 2, 4, 5, 7, 8 の6つである。

3つとも3の倍数でない数の選び方は$_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。

全体の選び方は$_{9}C_{3} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$通り。

したがって、積が3の倍数となる選び方は$84 - 20 = 64$通り。

(3) 積が6で割り切れないということは、積が2の倍数でないか、3の倍数でないかのどちらかである。積が6で割り切れない場合は、積が3の倍数でないか、あるいは2の倍数と3の倍数が両方含まれていない場合である。

積が6で割り切れないということは、言い換えると、

(i) 3つとも奇数である場合(これは(1)で求めた)、または

(ii) 3の倍数を1つも含まない場合、または

(iii) 2の倍数を含まない場合 (3つとも奇数の場合と等しい)。

を考えればよい。

(i) 3つとも奇数である場合の数は(1)より10通り。

(ii) 3の倍数を1つも含まない場合の数は6つから3つを選ぶ組み合わせなので、$_{6}C_{3} = 20$通り。

(iii) 2の倍数を含まない場合は、3つとも奇数である場合と一致するので、10通り。

ここで、(i)と(ii)の共通部分を考えると、3つとも奇数で、かつ3の倍数を含まない場合である。奇数で3の倍数であるのは3, 9の2つなので、1, 5, 7 から3つを選ぶことになる。しかし、3つの数字を選ぶので、これはあり得ない。2つ選ぶときなので、 $_{3}C_{3}=1$ である。

したがって、積が6で割り切れない場合は、$10 + 20 - (奇数かつ3の倍数を含まないケース) = 30 - 0 = 30$通り。

奇数で3の倍数を含まないケースは、$1, 5, 7$から３つを選ぶ場合なので、これは0通り。よって単純に足し合わせればよい。

積が6で割り切れないような3つの数の選び方は30通り。

3. 最終的な答え

(1) 10通り

(2) 64通り

(3) 30通り