数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$が与えられており、以下の条件を満たします。 $\sum_{k=1}^{n} a_k = n^2$ $\sum_{k=1}^{n} b_k = 2^n$ このとき、以下の和を求めます。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (a_k)^2$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (b_k)^2$ (3) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k$

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、丁寧に回答を作成します。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$が与えられており、以下の条件を満たします。

$\sum_{k=1}^{n} a_k = n^2$

$\sum_{k=1}^{n} b_k = 2^n$

このとき、以下の和を求めます。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (a_k)^2$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (b_k)^2$

(3) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (a_k)^2$ を求める。

まず、$a_n$を求めます。

$a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k = n^2 - (n-1)^2 = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = 2n - 1$ (for $n \ge 2$).

$a_1 = \sum_{k=1}^{1} a_k = 1^2 = 1$. $2(1)-1 = 1$ なので、$a_n = 2n-1$は $n=1$ でも成り立ちます。

よって、$a_n = 2n - 1$ です。

次に、$\sum_{k=1}^{n} (a_k)^2$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (a_k)^2 = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$= 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n[2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3]}{3}$

$= \frac{n[2(2n^2+3n+1) - 6n - 6 + 3]}{3} = \frac{n(4n^2 + 6n + 2 - 6n - 3)}{3} = \frac{n(4n^2 - 1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (b_k)^2$ を求める。

まず、$b_n$を求めます。

$b_n = \sum_{k=1}^{n} b_k - \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}(2-1) = 2^{n-1}$ (for $n \ge 2$).

$b_1 = \sum_{k=1}^{1} b_k = 2^1 = 2$. $2^{1-1} = 2^0 = 1$なので、$b_n = 2^{n-1}$は $n=1$ では成り立ちません。$b_1 = 2$ です。

$\sum_{k=1}^{n} (b_k)^2 = b_1^2 + \sum_{k=2}^{n} (b_k)^2 = 2^2 + \sum_{k=2}^{n} (2^{k-1})^2 = 4 + \sum_{k=2}^{n} 2^{2k-2} = 4 + \sum_{k=2}^{n} 4^{k-1} = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^{k}$

$= 4 + \frac{4(4^{n-1}-1)}{4-1} = 4 + \frac{4(4^{n-1}-1)}{3} = \frac{12+4^n-4}{3} = \frac{4^n+8}{3} = \frac{4 \cdot 4^{n-1}+8}{3}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k$ を求める。

$\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = \sum_{k=1}^{n} (2k-1) 2^{k-1} = \sum_{k=1}^{n} k 2^k \cdot 2^{-1} \cdot 2 - \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = 2\sum_{k=1}^{n} k 2^{k-1} - \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$

$\sum_{k=1}^{n} k x^{k-1} = \frac{d}{dx} \sum_{k=1}^{n} x^k = \frac{d}{dx} \frac{x(x^n - 1)}{x-1} = \frac{[(n+1)x^n - 1](x-1) - (x^{n+1} - x)}{(x-1)^2} = \frac{(n+1)x^{n+1} - (n+1)x^n - x + 1 - x^{n+1} + x}{(x-1)^2} = \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1}{(x-1)^2}$

$x=2$ を代入して, $\sum_{k=1}^{n} k 2^{k-1} = \frac{n 2^{n+1} - (n+1)2^n + 1}{(2-1)^2} = n 2^{n+1} - (n+1)2^n + 1 = 2n 2^n - n 2^n - 2^n + 1 = n 2^n - 2^n + 1 = (n-1)2^n + 1$

$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = \frac{2^n - 1}{2-1} = 2^n - 1$

よって, $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = 2[(n-1)2^n + 1] - (2^n - 1) = 2n 2^n - 2 \cdot 2^n + 2 - 2^n + 1 = 2n 2^n - 3 \cdot 2^n + 3 = (2n-3)2^n + 3$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} (a_k)^2 = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (b_k)^2 = \frac{4^n+8}{3}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = (2n-3)2^n + 3$