3次方程式 $x^3 + ax^2 + b = 0$ が $-1+i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + b = 0$ が $-1+i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $-1+i$ が与えられた3次方程式の解であることから、共役複素数 $-1-i$ も解となります。なぜなら、$a$と$b$は実数だからです。

よって、3つの解のうち2つが $-1+i$ と $-1-i$ であることがわかります。

3つ目の解を $\alpha$ とおきます。

解と係数の関係より、

3つの解の和は $-a$ に等しく、3つの解の積は $-b$ に等しいです。

* 解の和：$(-1+i) + (-1-i) + \alpha = -2 + \alpha = -a$

* 解の積：$(-1+i)(-1-i)\alpha = (1 - i^2)\alpha = (1 - (-1))\alpha = 2\alpha = -b$

また、解 $-1+i$ を方程式に代入します。

$(-1+i)^3 + a(-1+i)^2 + b = 0$

$(-1+i)^2 = (-1)^2 + 2(-1)(i) + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$

$(-1+i)^3 = (-1+i)(-2i) = 2i - 2i^2 = 2i + 2 = 2 + 2i$

したがって、$2 + 2i + a(-2i) + b = 0$

$(2+b) + (2-2a)i = 0$

$2+b=0$ かつ $2-2a=0$ でなければならないので、

$b=-2$ かつ $a=1$

$2\alpha = -b$ より $2\alpha = -(-2) = 2$

$\alpha = 1$

$(-1+i) + (-1-i) + 1 = -2 + 1 = -1 = -a$ より $a=1$ (一致)

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = -2$

他の解: $1$