与えられた置換の積を計算する問題です。具体的には、以下の4つの問題を解きます。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (3) $(1\ 3)(2\ 3)(2\ 4)$ (4) $(1\ 4)(2\ 3)(1\ 2\ 4\ 3)(2\ 3)$

1. 問題の内容

与えられた置換の積を計算する問題です。具体的には、以下の4つの問題を解きます。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $(1\ 3)(2\ 3)(2\ 4)$

(4) $(1\ 4)(2\ 3)(1\ 2\ 4\ 3)(2\ 3)$

2. 解き方の手順

置換の積は、右側の置換を先に行い、その結果に対して左側の置換を行います。

(1)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

まず右側の置換で、$1 \rightarrow 3$, $2 \rightarrow 1$, $3 \rightarrow 2$となります。

次に左側の置換で、$3 \rightarrow 2$, $1 \rightarrow 3$, $2 \rightarrow 1$となります。

したがって、$1 \rightarrow 3 \rightarrow 2$, $2 \rightarrow 1 \rightarrow 3$, $3 \rightarrow 2 \rightarrow 1$となり、

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$となります。

(2)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

まず右側の置換で、$1 \rightarrow 4$, $2 \rightarrow 3$, $3 \rightarrow 2$, $4 \rightarrow 1$となります。

次に左側の置換で、$4 \rightarrow 1$, $3 \rightarrow 2$, $2 \rightarrow 4$, $1 \rightarrow 3$となります。

したがって、$1 \rightarrow 4 \rightarrow 1$, $2 \rightarrow 3 \rightarrow 2$, $3 \rightarrow 2 \rightarrow 4$, $4 \rightarrow 1 \rightarrow 3$となり、

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$となります。

(3)

$(1\ 3)(2\ 3)(2\ 4)$

まず$(2\ 4)$で、$2 \rightarrow 4$, $4 \rightarrow 2$となります。

次に$(2\ 3)$で、$2 \rightarrow 3$, $3 \rightarrow 2$となります。

最後に$(1\ 3)$で、$1 \rightarrow 3$, $3 \rightarrow 1$となります。

$1 \rightarrow 1 \rightarrow 1 \rightarrow 3$, $2 \rightarrow 4 \rightarrow 4 \rightarrow 4$, $3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2$, $4 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 3$となり、

$(1\ 3\ 2\ 4)$となります。

(4)

$(1\ 4)(2\ 3)(1\ 2\ 4\ 3)(2\ 3)$

まず$(2\ 3)$で、$2 \rightarrow 3$, $3 \rightarrow 2$となります。

次に$(1\ 2\ 4\ 3)$で、$1 \rightarrow 2$, $2 \rightarrow 4$, $4 \rightarrow 3$, $3 \rightarrow 1$となります。

次に$(2\ 3)$で、$2 \rightarrow 3$, $3 \rightarrow 2$となります。

最後に$(1\ 4)$で、$1 \rightarrow 4$, $4 \rightarrow 1$となります。

$1 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 2 \rightarrow 4$, $2 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 3$, $3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 4 \rightarrow 1$, $4 \rightarrow 4 \rightarrow 1 \rightarrow 1 \rightarrow 2$となり、

$(1\ 4\ 2\ 3)$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

(3) $(1\ 3\ 2\ 4)$

(4) $(1\ 4\ 2\ 3)$