数列 $\{a_n\}$: 0, 4, 18, 48, 100, 180, 294, ... の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$: 0, 4, 18, 48, 100, 180, 294, ... の一般項を求める。

2. 解き方の手順

階差数列を考える。

与えられた数列を $a_n$とする。

$a_1 = 0$

$a_2 = 4$

$a_3 = 18$

$a_4 = 48$

$a_5 = 100$

$a_6 = 180$

$a_7 = 294$

階差数列 $b_n = a_{n+1} - a_n$を計算する。

$b_1 = 4 - 0 = 4$

$b_2 = 18 - 4 = 14$

$b_3 = 48 - 18 = 30$

$b_4 = 100 - 48 = 52$

$b_5 = 180 - 100 = 80$

$b_6 = 294 - 180 = 114$

階差数列 $\{b_n\}$: 4, 14, 30, 52, 80, 114,...

さらに階差数列 $c_n = b_{n+1} - b_n$を計算する。

$c_1 = 14 - 4 = 10$

$c_2 = 30 - 14 = 16$

$c_3 = 52 - 30 = 22$

$c_4 = 80 - 52 = 28$

$c_5 = 114 - 80 = 34$

階差数列 $\{c_n\}$: 10, 16, 22, 28, 34,...

さらに階差数列 $d_n = c_{n+1} - c_n$を計算する。

$d_1 = 16 - 10 = 6$

$d_2 = 22 - 16 = 6$

$d_3 = 28 - 22 = 6$

$d_4 = 34 - 28 = 6$

階差数列 $\{d_n\}$: 6, 6, 6, 6,...

数列 $\{d_n\}$は公差6の等差数列であるから、$c_n$は2次式、$b_n$は3次式、$a_n$は4次式で表される。

$d_n = 6$ なので、$c_n = c_1 + \sum_{k=1}^{n-1} d_k = 10 + 6(n-1) = 6n + 4$ (for $n \geq 2$).

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} c_k = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} (6k + 4) = 4 + 6\sum_{k=1}^{n-1} k + 4\sum_{k=1}^{n-1} 1 = 4 + 6\frac{(n-1)n}{2} + 4(n-1) = 4 + 3n^2 - 3n + 4n - 4 = 3n^2 + n$ (for $n \geq 2$).

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 0 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k^2 + k) = 3\sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 3\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{2} + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{(n-1)n(2n-1+1)}{2} = \frac{(n-1)n(2n)}{2} = n^2(n-1) = n^3 - n^2$ (for $n \geq 2$).

$a_1 = 1^3 - 1^2 = 1 - 1 = 0$.

よって、$a_n = n^3 - n^2$ は $n \geq 1$で成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = n^3 - n^2$