3次方程式 $x^3 + ax^2 + x + b = 0$ が $x=2$ と $x=3$ を解に持つとき、定数 $a$ と $b$ の値、および他の解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + x + b = 0$ が $x=2$ と $x=3$ を解に持つとき、定数 $a$ と $b$ の値、および他の解を求める。

2. 解き方の手順

$x=2$ と $x=3$ が解なので、方程式に代入して2つの式を得ます。

$2^3 + a(2^2) + 2 + b = 0$

$8 + 4a + 2 + b = 0$

$4a + b = -10$ ...(1)

$3^3 + a(3^2) + 3 + b = 0$

$27 + 9a + 3 + b = 0$

$9a + b = -30$ ...(2)

(2)-(1) より、

$5a = -20$

$a = -4$

(1) に $a=-4$ を代入して、

$4(-4) + b = -10$

$-16 + b = -10$

$b = 6$

したがって、方程式は $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$ となります。

$x=2$ と $x=3$ が解なので、$(x-2)$ と $(x-3)$ で割り切れるはずです。

$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$ なので、$x^3 - 4x^2 + x + 6$ を $x^2 - 5x + 6$ で割ります。

$\begin{array}{c|cc cc} \multicolumn{2}{r}{x} & +1 \\ \cline{2-5} x^2-5x+6 & x^3 & -4x^2 & +x & +6 \\ \multicolumn{2}{r}{x^3} & -5x^2 & +6x \\ \cline{2-4} \multicolumn{2}{r}{0} & x^2 & -5x & +6 \\ \multicolumn{2}{r}{} & x^2 & -5x & +6 \\ \cline{3-5} \multicolumn{2}{r}{} & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}$

したがって、$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x-2)(x-3)(x+1) = 0$ となります。

よって、解は $x=2, 3, -1$ です。

他の解は $x=-1$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = 6$

他の解: $-1$