与えられた複素数の式 $\sqrt{3e^{-j\frac{2}{3}\pi}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた複素数の式 $\sqrt{3e^{-j\frac{2}{3}\pi}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を極形式で表された複素数と見て、ルートを計算します。

$e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta)$ のオイラーの公式を使います。

複素数のルートを計算するには、絶対値のルートを取り、偏角を半分にします。

1. $\sqrt{3e^{-j\frac{2}{3}\pi}}$ を計算します。

2. 絶対値のルートを計算します。

$\sqrt{3}$ のルートは $\sqrt[4]{3}$ です。

3. 偏角を半分にします。

偏角は $-j\frac{2}{3}\pi$ なので、半分にすると $-j\frac{1}{3}\pi$ になります。

4. したがって、$\sqrt{3e^{-j\frac{2}{3}\pi}} = \sqrt[4]{3} e^{-j\frac{1}{3}\pi}$ となります。

5. オイラーの公式を使って、$e^{-j\frac{1}{3}\pi}$ を展開します。

$e^{-j\frac{1}{3}\pi} = \cos(-\frac{1}{3}\pi) + j\sin(-\frac{1}{3}\pi) = \cos(\frac{1}{3}\pi) - j\sin(\frac{1}{3}\pi) = \frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}$

6. したがって、$\sqrt[4]{3} e^{-j\frac{1}{3}\pi} = \sqrt[4]{3} (\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt[4]{3}}{2} - j\frac{\sqrt{3}\sqrt[4]{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt[4]{3}}{2} - j\frac{\sqrt{3}\sqrt[4]{3}}{2}$

または

$\frac{\sqrt[4]{3}}{2} - j\frac{3^{\frac{3}{4}}}{2}$