関数 $y = e^x \tan x$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = e^x \tan x$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

積の微分法則を用いる。積の微分法則とは、$u(x)$ と $v(x)$ の積の微分は以下のようになる。

$\frac{d}{dx}(u(x)v(x)) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

この問題では、$u(x) = e^x$ と $v(x) = \tan x$ と置く。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$

$v'(x) = \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$

したがって、積の微分法則を用いると

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x \tan x) = e^x \tan x + e^x \sec^2 x$

これを整理すると

$\frac{dy}{dx} = e^x(\tan x + \sec^2 x)$

3. 最終的な答え

$e^x(\tan x + \sec^2 x)$