2社寡占市場のクールノーモデル（数量競争）を考えます。逆需要関数が $P(Q) = 100 - Q$ で与えられ、A社とB社が生産しています。A社の単位あたりの生産コストがB社よりも小さい場合（ただし、両社ともに単位コストは0と100の間）、ナッシュ均衡における生産量について、最も適切な記述を選択します。

1. 問題の内容

2社寡占市場のクールノーモデル（数量競争）を考えます。逆需要関数が $P(Q) = 100 - Q$ で与えられ、A社とB社が生産しています。A社の単位あたりの生産コストがB社よりも小さい場合（ただし、両社ともに単位コストは0と100の間）、ナッシュ均衡における生産量について、最も適切な記述を選択します。

2. 解き方の手順

クールノー均衡における各社の生産量を計算し、A社の費用がB社よりも小さい場合の生産量の関係を調べます。

A社の生産量を $q_A$, B社の生産量を $q_B$ とします。総生産量は $Q = q_A + q_B$ であり、市場価格は $P = 100 - (q_A + q_B)$ です。

A社の利潤は $\pi_A = (P - c_A)q_A = (100 - q_A - q_B - c_A)q_A$ です。ここで、$c_A$ はA社の単位あたり生産コストです。

同様に、B社の利潤は $\pi_B = (P - c_B)q_B = (100 - q_A - q_B - c_B)q_B$ です。ここで、$c_B$ はB社の単位あたり生産コストです。

各社の利潤を最大化するために、それぞれの生産量について偏微分し、0とおきます。

A社の反応関数を求める:

$\frac{\partial \pi_A}{\partial q_A} = 100 - 2q_A - q_B - c_A = 0$

$2q_A = 100 - q_B - c_A$

$q_A = \frac{100 - q_B - c_A}{2}$

B社の反応関数を求める:

$\frac{\partial \pi_B}{\partial q_B} = 100 - q_A - 2q_B - c_B = 0$

$2q_B = 100 - q_A - c_B$

$q_B = \frac{100 - q_A - c_B}{2}$

連立方程式を解きます。

$q_A = \frac{100 - \frac{100 - q_A - c_B}{2} - c_A}{2} = \frac{200 - 100 + q_A + c_B - 2c_A}{4}$

$4q_A = 100 + q_A + c_B - 2c_A$

$3q_A = 100 + c_B - 2c_A$

$q_A = \frac{100 + c_B - 2c_A}{3}$

同様に、

$q_B = \frac{100 - \frac{100 + c_B - 2c_A}{3} - c_B}{2} = \frac{300 - 100 - c_B + 2c_A - 3c_B}{6}$

$6q_B = 200 - 4c_B + 2c_A$

$3q_B = 100 - 2c_B + c_A$

$q_B = \frac{100 - 2c_B + c_A}{3}$

問題より $c_A < c_B$ なので、$c_B - c_A > 0$ です。

$q_A - q_B = \frac{100 + c_B - 2c_A}{3} - \frac{100 - 2c_B + c_A}{3} = \frac{3c_B - 3c_A}{3} = c_B - c_A > 0$

したがって、$q_A > q_B$ となります。

3. 最終的な答え

A社の生産量はB社の生産量より大きい。