ある企業が原材料Yを使って加工食品Xを独占的に生産している。加工食品Xの逆需要関数は $p = 600 - 3x$ であり、$p$はX財の価格、$x$はX財の生産量である。生産関数は $x = \sqrt{y}$ であり、$y$はY財の投入量である。Y財1単位の購入価格は12とする。この企業の最大利潤をもたらす生産量$x$を求める。

1. 問題の内容

ある企業が原材料Yを使って加工食品Xを独占的に生産している。加工食品Xの逆需要関数は $p = 600 - 3x$ であり、$p$はX財の価格、$x$はX財の生産量である。生産関数は $x = \sqrt{y}$ であり、$y$はY財の投入量である。Y財1単位の購入価格は12とする。この企業の最大利潤をもたらす生産量$x$を求める。

2. 解き方の手順

まず、利潤$\pi$を定義する。利潤は収入から費用を引いたものである。

収入は$p \cdot x$ であり、費用は$12 \cdot y$ である。

したがって、$\pi = p \cdot x - 12 \cdot y$となる。

$p = 600 - 3x$を代入すると、$\pi = (600 - 3x) \cdot x - 12 \cdot y$となる。

また、$x = \sqrt{y}$より、$y = x^2$である。

これを代入すると、$\pi = (600 - 3x) \cdot x - 12 \cdot x^2$となる。

$\pi = 600x - 3x^2 - 12x^2 = 600x - 15x^2$

利潤を最大化するために、$\pi$を$x$で微分し、それを0とおく。

$\frac{d\pi}{dx} = 600 - 30x = 0$

$30x = 600$

$x = \frac{600}{30} = 20$

したがって、最大利潤をもたらす生産量$x$は20である。

3. 最終的な答え

20