花火職人が、花火を500mの高さで爆発させるために、 (1) 打ち上げの初速をいくらにすべきか。 (2) 打ち上げ後、何秒後に爆発するように仕掛ければ良いか。 ただし、重力加速度の大きさは9.8 m/s² とする。

1. 問題の内容

花火職人が、花火を500mの高さで爆発させるために、

(1) 打ち上げの初速をいくらにすべきか。

(2) 打ち上げ後、何秒後に爆発するように仕掛ければ良いか。

ただし、重力加速度の大きさは9.8 m/s² とする。

2. 解き方の手順

(1) 打ち上げの初速を求める

最高点での速度は0 m/sである。等加速度運動の公式 $v^2 - v_0^2 = 2ax$ を利用する。

ここで、$v = 0$ m/s (最高点での速度), $v_0$ は初速度, $a = -9.8$ m/s² (重力加速度), $x = 500$ m (高さ)である。

$0^2 - v_0^2 = 2(-9.8)(500)$

$v_0^2 = 9800$

$v_0 = \sqrt{9800} = \sqrt{49 \times 2 \times 100} = 7 \times \sqrt{2} \times 10 = 70\sqrt{2} \approx 70 \times 1.414 \approx 98.98 \approx 99$ m/s

(2) 打ち上げ後、何秒後に爆発させるかを求める

等加速度運動の公式 $x = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ を利用する。

ここで、$x = 500$ m (高さ), $v_0 = 99$ m/s (初速度), $a = -9.8$ m/s² (重力加速度), $t$ は時間である。

$500 = 99t + \frac{1}{2}(-9.8)t^2$

$500 = 99t - 4.9t^2$

$4.9t^2 - 99t + 500 = 0$

これを解くために二次方程式の解の公式 $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いる。

$t = \frac{99 \pm \sqrt{(-99)^2 - 4(4.9)(500)}}{2(4.9)} = \frac{99 \pm \sqrt{9801 - 9800}}{9.8} = \frac{99 \pm \sqrt{1}}{9.8} = \frac{99 \pm 1}{9.8}$

$t_1 = \frac{99+1}{9.8} = \frac{100}{9.8} \approx 10.20$ s

$t_2 = \frac{99-1}{9.8} = \frac{98}{9.8} = 10$ s

3. 最終的な答え

(1) 打ち上げの初速: 99 m/s

(2) 打ち上げ後、爆発するまでの時間: 10 秒