$x$軸上を等加速度直線運動する物体が、原点を時刻 $0$ s に通過した後の $6.0$ 秒間の速度と時間の関係を表す $v$-$t$ 図が与えられています。 (1) $v$-$t$ 図から物体の加速度 $a$ [m/s$^2$] を求めます。 (2) 物体が原点から最も遠ざかるときの時刻 $t_1$ [s] を求めます。 (3) (2)のときの物体の位置 $x_1$ [m] を求めます。 (4) 原点を通過してから $6.0$ 秒後の物体の位置 $x_2$ [m] を求めます。

1. 問題の内容

$x$軸上を等加速度直線運動する物体が、原点を時刻 $0$ s に通過した後の $6.0$ 秒間の速度と時間の関係を表す $v$-$t$ 図が与えられています。

(1) $v$-$t$ 図から物体の加速度 $a$ [m/s$^2$] を求めます。

(2) 物体が原点から最も遠ざかるときの時刻 $t_1$ [s] を求めます。

(3) (2)のときの物体の位置 $x_1$ [m] を求めます。

(4) 原点を通過してから $6.0$ 秒後の物体の位置 $x_2$ [m] を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 加速度 $a$ は $v$-$t$ グラフの傾きとして求められます。

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$

$v$-$t$グラフより、$t=0$ s のとき $v=8.0$ m/s、$t=6.0$ s のとき $v=-4.0$ m/s です。

したがって、

$a = \frac{-4.0 - 8.0}{6.0 - 0} = \frac{-12.0}{6.0} = -2.0$ m/s$^2$

(2) 物体が原点から最も遠ざかるのは、速度が $0$ になるときです。

等加速度運動の公式 $v = v_0 + at$ を用います。

$0 = 8.0 + (-2.0)t_1$

$2.0 t_1 = 8.0$

$t_1 = \frac{8.0}{2.0} = 4.0$ s

(3) 時刻 $t_1 = 4.0$ s のときの物体の位置 $x_1$ は、等加速度運動の公式 $x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ を用いて求めます。原点を基準としているので、$x_0 = 0$ m となります。

$x_1 = 0 + 8.0(4.0) + \frac{1}{2} (-2.0) (4.0)^2 = 32.0 - 16.0 = 16.0$ m

(4) 時刻 $t = 6.0$ s のときの物体の位置 $x_2$ も、等加速度運動の公式を用いて求めます。

$x_2 = 0 + 8.0(6.0) + \frac{1}{2} (-2.0) (6.0)^2 = 48.0 - 36.0 = 12.0$ m

3. 最終的な答え

(1) 加速度 $a = -2.0$ m/s$^2$

(2) 時刻 $t_1 = 4.0$ s

(3) 位置 $x_1 = 16.0$ m

(4) 位置 $x_2 = 12.0$ m