与えられた2階線形非同次微分方程式を解く問題です。 微分方程式は以下の通りです。 $\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = e^{2x}\cos^2{x}$

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式を解く問題です。

微分方程式は以下の通りです。

$\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = e^{2x}\cos^2{x}$

2. 解き方の手順

まず、同次方程式の解を求めます。

同次方程式は

$\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$

特性方程式は

$r^2 - 4r + 4 = 0$

$(r-2)^2 = 0$

したがって、$r = 2$ (重根)

同次方程式の一般解は

$y_c = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x}$

次に、非同次方程式の特殊解を求めます。

$\cos^2{x} = \frac{1+\cos{2x}}{2}$なので、与えられた微分方程式は

$\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}e^{2x}\cos{2x}$

と書き直せます。

特殊解を$y_p = Ax^2e^{2x} + Be^{2x}\cos{2x} + Ce^{2x}\sin{2x}$と仮定します。

$y_p'=2Axe^{2x} + 2Ax^2e^{2x} + Be^{2x}\cos{2x} - 2Be^{2x}\sin{2x} + Ce^{2x}\sin{2x} + 2Ce^{2x}\cos{2x}$

$y_p'' = 2Ae^{2x} + 4Axe^{2x} + 4Axe^{2x} + 4Ax^2e^{2x} + Be^{2x}\cos{2x} - 2Be^{2x}\sin{2x} - 2Be^{2x}\sin{2x} - 4Be^{2x}\cos{2x} + Ce^{2x}\sin{2x} + 2Ce^{2x}\cos{2x} + 2Ce^{2x}\cos{2x} - 4Ce^{2x}\sin{2x}$

$y_p'' = 2Ae^{2x} + 8Axe^{2x} + 4Ax^2e^{2x} - 3Be^{2x}\cos{2x} - 4Be^{2x}\sin{2x} - 3Ce^{2x}\sin{2x} + 4Ce^{2x}\cos{2x}$

これらを元の微分方程式に代入すると

$2Ae^{2x} + 8Axe^{2x} + 4Ax^2e^{2x} - 3Be^{2x}\cos{2x} - 4Be^{2x}\sin{2x} - 3Ce^{2x}\sin{2x} + 4Ce^{2x}\cos{2x} - 8Axe^{2x} - 8Ax^2e^{2x} - 4Be^{2x}\cos{2x} + 8Be^{2x}\sin{2x} - 4Ce^{2x}\sin{2x} - 8Ce^{2x}\cos{2x} + 4Ax^2e^{2x} + 4Be^{2x}\cos{2x} + 4Ce^{2x}\sin{2x} = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}e^{2x}\cos{2x}$

$2Ae^{2x} - 3Be^{2x}\cos{2x} - 4Be^{2x}\sin{2x} - 3Ce^{2x}\sin{2x} + 4Ce^{2x}\cos{2x} - 4Be^{2x}\cos{2x} + 8Be^{2x}\sin{2x} - 4Ce^{2x}\sin{2x} - 8Ce^{2x}\cos{2x} + 4Be^{2x}\cos{2x} + 4Ce^{2x}\sin{2x} = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}e^{2x}\cos{2x}$

$2Ae^{2x} + (-3B+4C-4B-8C+4B)e^{2x}\cos{2x} + (-4B-3C+8B-4C+4C)e^{2x}\sin{2x} = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}e^{2x}\cos{2x}$

$2Ae^{2x} + (-3B-4C)e^{2x}\cos{2x} + (4B-3C)e^{2x}\sin{2x} = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}e^{2x}\cos{2x}$

したがって、$2A = \frac{1}{2}$, $-3B - 4C = \frac{1}{2}$, $4B - 3C = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$4B = 3C$

$-3B - 4C = \frac{1}{2}$

$-3B - 4(\frac{4B}{3}) = \frac{1}{2}$

$-3B - \frac{16B}{3} = \frac{1}{2}$

$-\frac{9B + 16B}{3} = \frac{1}{2}$

$-\frac{25B}{3} = \frac{1}{2}$

$B = -\frac{3}{50}$

$C = \frac{4}{3}B = \frac{4}{3}(-\frac{3}{50}) = -\frac{2}{25}$

したがって、$y_p = \frac{1}{4}x^2e^{2x} - \frac{3}{50}e^{2x}\cos{2x} - \frac{2}{25}e^{2x}\sin{2x}$

一般解は

$y = y_c + y_p$

$y = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x} + \frac{1}{4}x^2e^{2x} - \frac{3}{50}e^{2x}\cos{2x} - \frac{2}{25}e^{2x}\sin{2x}$

3. 最終的な答え

$y = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x} + \frac{1}{4}x^2e^{2x} - \frac{3}{50}e^{2x}\cos{2x} - \frac{2}{25}e^{2x}\sin{2x}$