直径 $d_1 = 450 \text{ mm}$ の円管①と、直径 $d_2 = 300 \text{ mm}$ の円管②が接続されており、管内を水が流れている。円管①での流速は $v_1 = 5 \text{ m/s}$、圧力は $p_1 = 1.5 \times 10^5 \text{ Pa}$ である。水の密度は $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$ であり、配管は水平である。このとき、以下の問いに答える。 (1) 円管①、②に関する連続の式を求めよ。 (2) 円管①、②に関するベルヌーイの定理の式を求めよ。 (3) 流量と質量流量を求めよ。

1. 問題の内容

直径 $d_1 = 450 \text{ mm}$ の円管①と、直径 $d_2 = 300 \text{ mm}$ の円管②が接続されており、管内を水が流れている。円管①での流速は $v_1 = 5 \text{ m/s}$、圧力は $p_1 = 1.5 \times 10^5 \text{ Pa}$ である。水の密度は $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$ であり、配管は水平である。このとき、以下の問いに答える。

(1) 円管①、②に関する連続の式を求めよ。

(2) 円管①、②に関するベルヌーイの定理の式を求めよ。

(3) 流量と質量流量を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 連続の式

連続の式は、非圧縮性流体の場合、$A_1v_1 = A_2v_2$ と表される。ここで、$A$ は断面積、$v$ は流速を表す。円管の断面積は $A = \frac{\pi}{4} d^2$ で与えられるので、連続の式は以下のようになる。

$\frac{\pi}{4} d_1^2 v_1 = \frac{\pi}{4} d_2^2 v_2$

$\therefore d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2$

(2) ベルヌーイの定理

ベルヌーイの定理は、水平な管の場合、$p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$ と表される。

(3) 流量と質量流量

流量 $Q$ は $Q = A_1 v_1 = A_2 v_2$ で計算できる。

$A_1 = \frac{\pi}{4} d_1^2 = \frac{\pi}{4} (0.45 \text{ m})^2 \approx 0.159 \text{ m}^2$

$Q = A_1 v_1 = 0.159 \text{ m}^2 \times 5 \text{ m/s} = 0.795 \text{ m}^3/\text{s}$

$v_2$ は連続の式から求められる。

$v_2 = \frac{d_1^2}{d_2^2} v_1 = \frac{0.45^2}{0.3^2} \times 5 = \frac{0.2025}{0.09} \times 5 = 2.25 \times 5 = 11.25 \text{ m/s}$

質量流量 $\dot{m}$ は $\dot{m} = \rho Q$ で計算できる。

$\dot{m} = 1000 \text{ kg/m}^3 \times 0.795 \text{ m}^3/\text{s} = 795 \text{ kg/s}$

3. 最終的な答え

(1) 連続の式: $d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2$

(2) ベルヌーイの定理: $p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$

(3) 流量: $0.795 \text{ m}^3/\text{s}$、質量流量: $795 \text{ kg/s}$