直径 $d_1 = 450 \text{mm}$ の円管1と、直径 $d_2 = 300 \text{mm}$ の円管2が滑らかに接続されており、水が流れている。円管1における流速は $v_1 = 5 \text{m/s}$、圧力は $p_1 = 1.5 \times 10^5 \text{Pa}$ である。水の密度は $\rho = 1000 \text{kg/m}^3$ とする。配管は水平で、重力の影響はないものとする。円管2における流速を $v_2$、圧力を $p_2$ とする。 (1) 円管1,2に関する連続の式を求めよ。 (2) 円管1,2に関するベルヌーイの定理の式を求めよ。 (3) 流量および質量流量を求めよ。 (4) 円管2での流速 $v_2$ を求めよ。 (5) 円管2での圧力 $p_2$ を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文の内容と回答を以下に示します。

1. 問題の内容

直径 $d_1 = 450 \text{mm}$ の円管1と、直径 $d_2 = 300 \text{mm}$ の円管2が滑らかに接続されており、水が流れている。円管1における流速は $v_1 = 5 \text{m/s}$、圧力は $p_1 = 1.5 \times 10^5 \text{Pa}$ である。水の密度は $\rho = 1000 \text{kg/m}^3$ とする。配管は水平で、重力の影響はないものとする。円管2における流速を $v_2$、圧力を $p_2$ とする。

(1) 円管1,2に関する連続の式を求めよ。

(2) 円管1,2に関するベルヌーイの定理の式を求めよ。

(3) 流量および質量流量を求めよ。

(4) 円管2での流速 $v_2$ を求めよ。

(5) 円管2での圧力 $p_2$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 連続の式

連続の式は、流体が非圧縮性である場合、断面積と流速の積が一定になるという法則です。円管の断面積は $A = \pi (d/2)^2$ で与えられるので、連続の式は以下のように表されます。

$A_1 v_1 = A_2 v_2$

$\pi (d_1/2)^2 v_1 = \pi (d_2/2)^2 v_2$

$(d_1)^2 v_1 = (d_2)^2 v_2$

(2) ベルヌーイの定理

ベルヌーイの定理は、流体の圧力、速度、高度の関係を表す式です。配管が水平であるため、高度による影響は無視できます。したがって、ベルヌーイの定理は以下のようになります。

$p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$

(3) 流量および質量流量

流量 $Q$ は、断面積と流速の積で与えられます。

$Q = A_1 v_1 = A_2 v_2$

質量流量 $\dot{m}$ は、流量に密度をかけたもので与えられます。

$\dot{m} = \rho Q$

(4) 円管2での流速 $v_2$

連続の式より、$v_2 = v_1 (d_1/d_2)^2$ で求められます。

(5) 円管2での圧力 $p_2$

ベルヌーイの定理より、$p_2 = p_1 + \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2)$ で求められます。

3. 最終的な答え

(1) 連続の式:

$(d_1)^2 v_1 = (d_2)^2 v_2$

(2) ベルヌーイの定理:

$p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$

(3) 流量:

$Q = \pi (0.45/2)^2 \times 5 = 0.795 \text{ m}^3/\text{s}$

質量流量:

$\dot{m} = 1000 \times 0.795 = 795 \text{ kg/s}$

(4) 円管2での流速:

$v_2 = 5 \times (450/300)^2 = 11.25 \text{ m/s}$

(5) 円管2での圧力:

$p_2 = 1.5 \times 10^5 + 0.5 \times 1000 \times (5^2 - 11.25^2) = 1.5 \times 10^5 + 500 \times (25 - 126.5625) = 1.5 \times 10^5 - 50076.25 = 99923.75 \text{ Pa} \approx 9.99 \times 10^4 \text{ Pa}$

最終解答

流量: $0.795 \text{ m}^3/\text{s}$

質量流量: $795 \text{ kg/s}$

円管2での流速: $11.25 \text{ m/s}$

円管2での圧力: $9.99 \times 10^4 \text{ Pa}$