(4) 運動方程式からボールの速度 $v_z(t)$ と位置 $z(t)$ を求める。加速度 $a_z(t)$ を求め、$a_z = \frac{dv_z}{dt}$ の関係と初期条件から $v_z(t)$ を導き、$v_z(t) = \frac{dz}{dt}$ の関係と初期条件から $z(t)$ を導く。 (5) ボールが地面に落下する時刻と位置を求める。 (6) ボールを投げてから地面に落下するまでの速度の各成分 $v_x, v_z$、座標 $x, z$ の時間変化の概形をグラフに図示する。

1. 問題の内容

(4) 運動方程式からボールの速度 $v_z(t)$ と位置 $z(t)$ を求める。加速度 $a_z(t)$ を求め、$a_z = \frac{dv_z}{dt}$ の関係と初期条件から $v_z(t)$ を導き、$v_z(t) = \frac{dz}{dt}$ の関係と初期条件から $z(t)$ を導く。

(5) ボールが地面に落下する時刻と位置を求める。

(6) ボールを投げてから地面に落下するまでの速度の各成分 $v_x, v_z$、座標 $x, z$ の時間変化の概形をグラフに図示する。

2. 解き方の手順

(4)

* 運動方程式から加速度を求める。グラフから初期条件を読み取る。$x$方向は等速運動、$z$方向は等加速度運動と考えられる。

* グラフから、$v_x(0) = 20$ m/s, $z(0) = 122.5$ mが読み取れる。また、問題文中の他のグラフから、$x(0)=100$ m である。

* $v_z(0)=0$である。

* まず、加速度 $a_z(t)$ を求める。

* $a_z = \frac{dv_z}{dt}$ を積分して $v_z(t)$ を求める。初期条件 $v_z(0) = 0$ を用いて積分定数を決定する。

* $v_z(t) = \frac{dz}{dt}$ を積分して $z(t)$ を求める。初期条件 $z(0) = 122.5$ m を用いて積分定数を決定する。

*　水平方向の速度は$v_x(t) = 20$ m/sで一定

*　$x(t)=20t+100$となる。

(5)

* ボールが地面に落下する時刻は、$z(t) = 0$ となる $t$ を解く。

* 落下する位置の $x$ 座標は、$x(t) = v_x t + x(0)$ に求めた $t$ を代入して計算する。

(6)

* $v_x$ は時間によらず一定である。

* $v_z$ は時間の一次関数である。

* $x$ は時間の一次関数である。

* $z$ は時間の二次関数である。

* 求めた関数に基づいてグラフを描き、軸とグラフの交点にメモリを付ける。

3. 最終的な答え

(4) **加速度 $a_z(t)$ を求める**

ボールに働く力は重力のみであると仮定すると、$a_z(t) = -g$（$g$ は重力加速度）となる。ここでは、$g = 9.8$ m/s$^2$ と近似する。従って、$a_z(t) = -9.8$ m/s$^2$ である。

**速度 $v_z(t)$ を求める**

$a_z = \frac{dv_z}{dt}$ より、$dv_z = a_z dt$ なので、$v_z(t) = \int a_z dt = \int -9.8 dt = -9.8t + C_1$ （$C_1$ は積分定数）。

初期条件 $v_z(0) = 0$ より、$0 = -9.8(0) + C_1$ なので、$C_1 = 0$。

したがって、$v_z(t) = -9.8t$ m/s である。

**位置 $z(t)$ を求める**

$v_z = \frac{dz}{dt}$ より、$dz = v_z dt$ なので、$z(t) = \int v_z dt = \int -9.8t dt = -4.9t^2 + C_2$ （$C_2$ は積分定数）。

初期条件 $z(0) = 122.5$ m より、$122.5 = -4.9(0)^2 + C_2$ なので、$C_2 = 122.5$。

したがって、$z(t) = -4.9t^2 + 122.5$ m である。

(5) **落下する時刻を求める**

$z(t) = 0$ となる $t$ を求める。$-4.9t^2 + 122.5 = 0$ より、$4.9t^2 = 122.5$。

$t^2 = \frac{122.5}{4.9} = 25$。したがって、$t = \pm 5$。$t > 0$ なので、$t = 5$ s。

**落下する位置の $x$ 座標を求める**

$x(t) = 20t + 100$ なので、$x(5) = 20(5) + 100 = 100 + 100 = 200$ m。

落下する時刻：5 s

落下する位置の $x$ 座標：200 m

(6)　グラフは省略（上記の$v_x(t), v_z(t), x(t), z(t)$の式に基づいてグラフを作成してください。）