ボールが速度に比例する空気抵抗を受ける場合を考えます。ボールを投げ上げた時の時刻を$t=0$とし、速度の鉛直上方成分の大きさを$V_0$、水平成分の大きさを$U_0$とします。ボールが最高到達点に達したときの速さ$V_M$を、ボールの質量$m$と比例定数$\lambda$、$V_0$、$U_0$、重力加速度$g$を用いて表す問題です。ここで、$V_M$は以下の式で与えられます。 $V_M = \frac{U_0^A g^B}{C + m^D \lambda^E V_0^F g^G}$ この式中の$A$を求める必要があります。

1. 問題の内容

ボールが速度に比例する空気抵抗を受ける場合を考えます。ボールを投げ上げた時の時刻を$t=0$とし、速度の鉛直上方成分の大きさを$V_0$、水平成分の大きさを$U_0$とします。ボールが最高到達点に達したときの速さ$V_M$を、ボールの質量$m$と比例定数$\lambda$、$V_0$、$U_0$、重力加速度$g$を用いて表す問題です。ここで、$V_M$は以下の式で与えられます。

$V_M = \frac{U_0^A g^B}{C + m^D \lambda^E V_0^F g^G}$

この式中の$A$を求める必要があります。

2. 解き方の手順

ボールが最高到達点に達したとき、鉛直方向の速度成分は0になります。したがって、この点での速度は水平方向の速度成分のみになります。問題文より、水平方向の初速度は$U_0$です。空気抵抗が速度に比例するため、水平方向の運動は減衰運動になります。しかし、最高到達点では鉛直方向の速度が0になるだけで、水平方向の速度は変化しません。したがって、最高到達点での速度$V_M$は水平方向の速度成分$U_0$と等しくなります。

$V_M = U_0$

与えられた式と比較すると、以下のようになります。

$U_0 = \frac{U_0^A g^B}{C + m^D \lambda^E V_0^F g^G}$

この式が成り立つためには、$A=1$, $B=0$である必要があります。

また、$C+m^D \lambda^E V_0^F g^G=1$である必要があります。$V_M$は$U_0$のみに依存し、$m,\lambda, V_0, g$には依存しません。したがって、$D=E=F=G=0$である必要があります。そうすると、$C=1-1=0$となります。

したがって、

$V_M = \frac{U_0^1 g^0}{1 + m^0 \lambda^0 V_0^0 g^0 - 1} = \frac{U_0}{1}$

$V_M = U_0$

よって、$A=1$, $B=0$, $C=0$, $D=0$, $E=0$, $F=0$, $G=0$となります。

3. 最終的な答え

1