長さ $L$ の棒で質量 $m$ のおもりが吊り下げられた振り子を考える。支点は $x_0 = a \cos(\omega t)$ で単振動する。重力加速度は $g$ であり、棒の質量は無視できる。棒が鉛直方向となす角を $\theta$ とする。 $\theta$ は小さく、$\sin \theta \approx \theta$, $\cos \theta \approx 1$ と近似できる。 (1) おもりが速度に比例する抵抗力 $cv$ を受けるとして、運動方程式から $\frac{d^2\theta}{dt^2} = P\theta + Q\frac{d\theta}{dt} + R\cos(\omega t) + S\sin(\omega t)$ の $P, Q, R, S$ を求めよ。 (2) $a \neq 0, c = 0$ の場合の振り子の共振角周波数 $\omega_0$ を $m, L, g$ を用いて表せ。 (3) $a \neq 0, c \neq 0$ の場合について、$\omega = \omega_0$ とし、(1)で求めた運動方程式を解き、十分時間が経過した後の定常解 $\theta(t) = A_1 \sin(\sqrt{\frac{g}{L}}t) + A_2 \cos(\sqrt{\frac{g}{L}}t)$ の $A_1, A_2$ を $m, L, a, c, g, t$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

長さ $L$ の棒で質量 $m$ のおもりが吊り下げられた振り子を考える。支点は $x_0 = a \cos(\omega t)$ で単振動する。重力加速度は $g$ であり、棒の質量は無視できる。棒が鉛直方向となす角を $\theta$ とする。 $\theta$ は小さく、$\sin \theta \approx \theta$, $\cos \theta \approx 1$ と近似できる。

(1) おもりが速度に比例する抵抗力 $cv$ を受けるとして、運動方程式から $\frac{d^2\theta}{dt^2} = P\theta + Q\frac{d\theta}{dt} + R\cos(\omega t) + S\sin(\omega t)$ の $P, Q, R, S$ を求めよ。

(2) $a \neq 0, c = 0$ の場合の振り子の共振角周波数 $\omega_0$ を $m, L, g$ を用いて表せ。

(3) $a \neq 0, c \neq 0$ の場合について、$\omega = \omega_0$ とし、(1)で求めた運動方程式を解き、十分時間が経過した後の定常解 $\theta(t) = A_1 \sin(\sqrt{\frac{g}{L}}t) + A_2 \cos(\sqrt{\frac{g}{L}}t)$ の $A_1, A_2$ を $m, L, a, c, g, t$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

振り子の運動方程式を導く。

おもりの位置は $(x_0 + L\sin\theta, -L\cos\theta)$ であり、$x_0 = a\cos(\omega t)$ なので、

$(a\cos(\omega t) + L\sin\theta, -L\cos\theta)$ となる。

速度は時間微分より、

$(\frac{d}{dt}(a\cos(\omega t) + L\sin\theta), \frac{d}{dt}(-L\cos\theta)) = (-a\omega\sin(\omega t) + L\cos\theta\frac{d\theta}{dt}, L\sin\theta\frac{d\theta}{dt})$

加速度はさらに時間微分して、

$(-a\omega^2\cos(\omega t) - L\sin\theta(\frac{d\theta}{dt})^2 + L\cos\theta\frac{d^2\theta}{dt^2}, L\cos\theta(\frac{d\theta}{dt})^2 + L\sin\theta\frac{d^2\theta}{dt^2})$

$\theta$ が小さいので $\sin\theta \approx \theta, \cos\theta \approx 1$ とすると、

$(-a\omega^2\cos(\omega t) - L\theta(\frac{d\theta}{dt})^2 + L\frac{d^2\theta}{dt^2}, L(\frac{d\theta}{dt})^2 + L\theta\frac{d^2\theta}{dt^2})$

運動方程式は $m\vec{a} = \vec{F}$ であり、$\vec{F}$ は重力と抵抗力 $\vec{F} = (0, -mg) - c\vec{v}$

$m(-a\omega^2\cos(\omega t) + L\frac{d^2\theta}{dt^2}, L\theta\frac{d^2\theta}{dt^2}) = (0, -mg) - c(-a\omega\sin(\omega t) + L\frac{d\theta}{dt}, L\theta\frac{d\theta}{dt})$

x成分：

$m(-a\omega^2\cos(\omega t) + L\frac{d^2\theta}{dt^2}) = c(a\omega\sin(\omega t) - L\frac{d\theta}{dt})$

$mL\frac{d^2\theta}{dt^2} + cL\frac{d\theta}{dt} = ma\omega^2\cos(\omega t) + ca\omega\sin(\omega t)$

$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{c}{m}\frac{d\theta}{dt} + \frac{a\omega^2}{L}\cos(\omega t) + \frac{ca\omega}{mL}\sin(\omega t)$

y成分：

$mL\theta\frac{d^2\theta}{dt^2} = -mg - cL\theta\frac{d\theta}{dt}$

微小振動なので、近似 $\theta \approx 0$ を用いると、y成分は不要。

$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{c}{m}\frac{d\theta}{dt} + \frac{a\omega^2}{L}\cos(\omega t) + \frac{ca\omega}{mL}\sin(\omega t)$

したがって、$P = 0$, $Q = -\frac{c}{m}$, $R = \frac{a\omega^2}{L}$, $S = \frac{ca\omega}{mL}$

(2)

$a \neq 0, c = 0$ なので、(1) より

$\frac{d^2\theta}{dt^2} = \frac{a\omega^2}{L}\cos(\omega t)$

共振するのは、外力の周波数 $\omega$ と振り子の固有振動数 $\omega_0$ が一致するときである。

固有振動数は $\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{L}}$ である。

(3)

$a \neq 0, c \neq 0, \omega = \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{L}}$ より、(1) より

$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{c}{m}\frac{d\theta}{dt} + \frac{a\omega_0^2}{L}\cos(\omega_0 t) + \frac{ca\omega_0}{mL}\sin(\omega_0 t)$

$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{c}{m}\frac{d\theta}{dt} + \frac{ag}{L^2}\cos(\sqrt{\frac{g}{L}}t) + \frac{ca}{mL}\sqrt{\frac{g}{L}}\sin(\sqrt{\frac{g}{L}}t)$

$\theta(t) = A_1 \sin(\sqrt{\frac{g}{L}}t) + A_2 \cos(\sqrt{\frac{g}{L}}t)$ を代入する。

$\frac{d\theta}{dt} = A_1 \sqrt{\frac{g}{L}}\cos(\sqrt{\frac{g}{L}}t) - A_2 \sqrt{\frac{g}{L}}\sin(\sqrt{\frac{g}{L}}t)$

$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -A_1 \frac{g}{L}\sin(\sqrt{\frac{g}{L}}t) - A_2 \frac{g}{L}\cos(\sqrt{\frac{g}{L}}t)$

$-A_1 \frac{g}{L}\sin(\sqrt{\frac{g}{L}}t) - A_2 \frac{g}{L}\cos(\sqrt{\frac{g}{L}}t) = -\frac{c}{m}(A_1 \sqrt{\frac{g}{L}}\cos(\sqrt{\frac{g}{L}}t) - A_2 \sqrt{\frac{g}{L}}\sin(\sqrt{\frac{g}{L}}t)) + \frac{ag}{L^2}\cos(\sqrt{\frac{g}{L}}t) + \frac{ca}{mL}\sqrt{\frac{g}{L}}\sin(\sqrt{\frac{g}{L}}t)$

$\sin(\sqrt{\frac{g}{L}}t)$ の係数を比較すると、

$-A_1\frac{g}{L} = \frac{cA_2}{m}\sqrt{\frac{g}{L}} + \frac{ca}{mL}\sqrt{\frac{g}{L}}$

$-A_1\sqrt{\frac{g}{L}} = \frac{cA_2}{m} + \frac{ca}{mL}$

$\cos(\sqrt{\frac{g}{L}}t)$ の係数を比較すると、

$-A_2\frac{g}{L} = -\frac{cA_1}{m}\sqrt{\frac{g}{L}} + \frac{ag}{L^2}$

$-A_2\sqrt{\frac{g}{L}} = -\frac{cA_1}{m} + \frac{ag}{L^2\sqrt{\frac{g}{L}}} = -\frac{cA_1}{m} + \frac{ag}{L\sqrt{gL}}$

$-A_2\sqrt{\frac{g}{L}} = -\frac{cA_1}{m} + \frac{a}{L}\sqrt{\frac{g}{L}}$

$A_1 = -\frac{c}{m}A_2 - \frac{ca}{mL}$

$A_2 = \frac{cA_1}{m\sqrt{\frac{g}{L}}} - \frac{a}{L}$

$A_2 = \frac{c}{m\sqrt{\frac{g}{L}}}(-\frac{c}{m}A_2 - \frac{ca}{mL}) - \frac{a}{L}$

$A_2(1 + \frac{c^2}{m^2\frac{g}{L}}) = -\frac{c^2 a}{m^2 L\sqrt{\frac{g}{L}}} - \frac{a}{L}$

$A_2 = \frac{-\frac{c^2 a}{m^2 L\sqrt{\frac{g}{L}}} - \frac{a}{L}}{1 + \frac{c^2}{m^2\frac{g}{L}}} = \frac{-\frac{c^2 a}{m^2 \sqrt{gL}} - \frac{a}{L}}{1 + \frac{c^2 L}{m^2 g}} = \frac{-a(\frac{c^2}{m^2\sqrt{gL}} + \frac{1}{L})}{\frac{m^2g + c^2L}{m^2g}}$

$A_2 = \frac{-a(\frac{c^2 + m^2\sqrt{\frac{g}{L}}}{m^2\sqrt{gL}})}{\frac{m^2g + c^2L}{m^2g}} = \frac{-a(c^2 + m^2\sqrt{\frac{g}{L}}) g}{(m^2g + c^2L)\sqrt{gL}}$

$A_2 = -a\frac{c^2g + m^2g\sqrt{\frac{g}{L}}}{(m^2g + c^2L)\sqrt{gL}} = -am^2g \frac{c^2g + m^2\sqrt{\frac{g}{L}}}{\sqrt{gL}(m^2g + c^2L)}$

$A_1 = -\frac{c}{m}(-a\frac{c^2g + m^2\sqrt{\frac{g}{L}}}{\sqrt{gL}(m^2g + c^2L)}) - \frac{ca}{mL} = \frac{ac}{m}\frac{c^2g + m^2\sqrt{\frac{g}{L}}}{\sqrt{gL}(m^2g + c^2L)} - \frac{ca}{mL}$

$A_1 = \frac{ac}{m}\frac{c^2g + m^2\sqrt{\frac{g}{L}} - \frac{(m^2g+c^2L)}{m^2} m \sqrt{\frac{g}{L}}}{\sqrt{gL}(m^2g + c^2L)} = \frac{ac}{m}\frac{c^2g -c^2\sqrt{\frac{g}{L}}}{(m^2g + c^2L)\sqrt{gL}}$

3. 最終的な答え

(1) $P = 0$, $Q = -\frac{c}{m}$, $R = \frac{a\omega^2}{L}$, $S = \frac{ca\omega}{mL}$

(2) $\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{L}}$

(3)

$A_1 = \frac{ac}{m\sqrt{\frac{g}{L}}}\frac{\frac{ag}{L} - A_2 \frac{g}{L}} = 0$

$A_2 = -a\frac{\frac{g}{L}}{2\frac{c}{m}\frac{g}{L}} = -\frac{am}{2c}$

よって、

$\theta(t) = -\frac{am}{2c}\cos(\sqrt{\frac{g}{L}}t)$

より

$A_1 = 0$, $A_2 = -\frac{am}{2c}$