初速度 $10 \text{ m/s}$ でA点から右向きに動き出した物体が、等加速度直線運動をして、$10$ 秒後にA点の左方 $30 \text{ m}$ の点に達した。この物体の加速度と、$10$ 秒間に動いた距離を求める。

1. 問題の内容

初速度 $10 \text{ m/s}$ でA点から右向きに動き出した物体が、等加速度直線運動をして、$10$ 秒後にA点の左方 $30 \text{ m}$ の点に達した。この物体の加速度と、$10$ 秒間に動いた距離を求める。

2. 解き方の手順

(1) 加速度を求める。

等加速度直線運動の位置 $x(t)$ は、初期位置 $x_0$、初速度 $v_0$、加速度 $a$、時間 $t$ を用いて、以下の式で表される。

$x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$

問題文より、初期位置を $x_0 = 0$ (A点)、初速度を $v_0 = 10 \text{ m/s}$ とすると、$10$ 秒後の位置は $x(10) = -30 \text{ m}$ である。

したがって、

$-30 = 0 + 10 \times 10 + \frac{1}{2} a (10)^2$

$-30 = 100 + 50 a$

$50 a = -130$

$a = -2.6 \text{ m/s}^2$

(2) 10秒間に動いた距離を求める。

$10$秒間に動いた距離は、速度が $0$ になるまでの時間 $t_0$ を求めて、そこまでの移動距離と、そこから $10$ 秒後までの移動距離を分けて考える必要がある。

速度 $v(t)$ は、加速度 $a$ を用いて、以下の式で表される。

$v(t) = v_0 + a t$

速度が $0$ になる時間 $t_0$ は、

$0 = 10 + (-2.6) t_0$

$2.6 t_0 = 10$

$t_0 = \frac{10}{2.6} = \frac{50}{13} \approx 3.85 \text{ s}$

$t_0$ までの移動距離 $x(t_0)$ は、

$x(t_0) = 10 t_0 + \frac{1}{2} (-2.6) t_0^2$

$= 10 \cdot \frac{50}{13} + \frac{1}{2} (-2.6) (\frac{50}{13})^2$

$= \frac{500}{13} - 1.3 \cdot \frac{2500}{169}$

$= \frac{500}{13} - \frac{3250}{169}$

$= \frac{6500 - 3250}{169} = \frac{3250}{169} = \frac{250}{13} \approx 19.23 \text{ m}$

$t_0$ から $10$ 秒後までの時間 $t_1 = 10 - t_0 = 10 - \frac{50}{13} = \frac{130-50}{13} = \frac{80}{13} \approx 6.15 \text{ s}$

この間の移動距離 $x_1$ は、

$x_1 = v(t_0) t_1 + \frac{1}{2} a t_1^2$

$= 0 \cdot t_1 + \frac{1}{2} (-2.6) (\frac{80}{13})^2$

$= -1.3 \cdot (\frac{6400}{169}) = -\frac{8320}{169} = -\frac{640}{13} \approx -49.23 \text{ m}$

$10$ 秒間に動いた距離は、

$|x(t_0)| + |x_1| = |\frac{250}{13}| + |\frac{-640}{13}|$

$= \frac{250+640}{13} = \frac{890}{13} \approx 68.46 \text{ m}$

3. 最終的な答え

加速度: $-2.6 \text{ m/s}^2$

10秒間に動いた距離: $\frac{890}{13} \text{ m} \approx 68.46 \text{ m}$