$f(x)$ は0でない $x$ の多項式であり、以下の微分方程式と初期条件を満たす。 $xf''(x) + (1-x)f'(x) + 3f(x) = 0, \quad f(0) = 1$ (1) $f(x)$ の次数を求めよ。 (2) $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$f(x)$ は0でない $x$ の多項式であり、以下の微分方程式と初期条件を満たす。

$xf''(x) + (1-x)f'(x) + 3f(x) = 0, \quad f(0) = 1$

(1) $f(x)$ の次数を求めよ。

(2) $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の次数を求める。

$f(x)$ が $n$ 次の多項式であると仮定する。

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ (ただし、$a_n \neq 0$)

$f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \cdots + a_1$

$f''(x) = n(n-1) a_n x^{n-2} + (n-1)(n-2) a_{n-1} x^{n-3} + \cdots + 2 a_2$

与えられた微分方程式に代入する。

$xf''(x) + (1-x)f'(x) + 3f(x) = 0$

最高次の項のみに着目すると、

$x(n(n-1) a_n x^{n-2}) + (1-x)(n a_n x^{n-1}) + 3(a_n x^n) = 0$

$n(n-1) a_n x^{n-1} + n a_n x^{n-1} - n a_n x^n + 3 a_n x^n = 0$

$-n a_n x^n + 3 a_n x^n = 0$

$(-n + 3) a_n x^n = 0$

$a_n \neq 0$ より、 $-n + 3 = 0$

したがって、$n = 3$

(2) $f(x)$ を求める。

$f(x)$ は3次の多項式なので、$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ とおく。

$f(0) = 1$ より、$d = 1$

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

$f''(x) = 6ax + 2b$

微分方程式に代入する。

$x(6ax + 2b) + (1-x)(3ax^2 + 2bx + c) + 3(ax^3 + bx^2 + cx + 1) = 0$

$6ax^2 + 2bx + 3ax^2 + 2bx + c - 3ax^3 - 2bx^2 - cx + 3ax^3 + 3bx^2 + 3cx + 3 = 0$

$(6a + 3a - 2b + 3b)x^2 + (2b + 2b - c + 3c)x + (c + 3) = 0$

$(9a + b)x^2 + (4b + 2c)x + (c + 3) = 0$

これが全ての $x$ について成り立つためには、各係数が0でなければならない。

$9a + b = 0$

$4b + 2c = 0$

$c + 3 = 0$

$c = -3$

$4b + 2(-3) = 0 \implies 4b = 6 \implies b = \frac{3}{2}$

$9a + \frac{3}{2} = 0 \implies 9a = -\frac{3}{2} \implies a = -\frac{1}{6}$

したがって、$f(x) = -\frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 3x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ の次数: 3

(2) $f(x) = -\frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 3x + 1$