長さ2m、幅60mm、高さ30mmの長方形断面を持つ軟鋼製の柱について、両端が固定されている場合の座屈荷重と座屈応力を求めます。縦弾性係数は206GPaとします。

1. 問題の内容

長さ2m、幅60mm、高さ30mmの長方形断面を持つ軟鋼製の柱について、両端が固定されている場合の座屈荷重と座屈応力を求めます。縦弾性係数は206GPaとします。

2. 解き方の手順

1. 断面二次モーメント$I_0$を計算します。長方形断面なので、$I_0 = \frac{bh^3}{12}$で求められます。問題文中の計算を参考に、$b = 60 \text{mm}$, $h = 30 \text{mm}$ と読み替えて計算すると、

$I_0 = \frac{60 \times 30^3}{12} = \frac{60 \times 27000}{12} = 135000 \text{ mm}^4$

2. 断面二次半径$k_0$を計算します。$k_0 = \sqrt{\frac{I_0}{A}}$で求められます。ここで、$A$は断面積で、$A = 60 \times 30 = 1800 \text{ mm}^2$です。したがって、

$k_0 = \sqrt{\frac{135000}{1800}} = \sqrt{75} = 8.66 \text{ mm}$

3. 細長比を計算します。細長比は$\frac{l}{k_0}$で求められます。ここで、$l$は柱の長さで、2m = 2000mmです。

細長比 = $\frac{2000}{8.66} = 230.9$

4. 両端固定の条件におけるオイラーの式を適用して座屈荷重$W$を計算します。両端固定の場合、$n = 4$です。縦弾性係数$E = 206 \text{GPa} = 206000 \text{N/mm}^2$、長さ$l = 2000 \text{mm}$を用いて、

$W = n \pi^2 \frac{EI_0}{l^2} = 4 \times \pi^2 \times \frac{206000 \times 135000}{2000^2} = 4 \times \pi^2 \times \frac{27810000000}{4000000} = 4 \times \pi^2 \times 6952.5 \approx 274903.5 \text{ N}$

5. 座屈応力$\sigma$を計算します。$\sigma = \frac{W}{A}$で求められます。

$\sigma = \frac{274903.5}{1800} = 152.7 \text{ MPa}$

3. 最終的な答え

座屈荷重: 274.9 kN

座屈応力: 152.7 MPa