直流電流源J、抵抗$R_1$、$R_2$、キャパシタCからなる回路の定常状態における、$R_1$にかかる電圧$v$と、キャパシタCにかかる電圧$v_C$を求める問題です。

1. 問題の内容

直流電流源J、抵抗$R_1$、$R_2$、キャパシタCからなる回路の定常状態における、$R_1$にかかる電圧$v$と、キャパシタCにかかる電圧$v_C$を求める問題です。

2. 解き方の手順

定常状態では、キャパシタCは開放されているとみなすことができます。

したがって、回路は電流源Jと抵抗$R_1$、$R_2$が並列に接続された形となります。

$R_1$にかかる電圧$v$は、電流源Jから供給される電流が$R_1$を流れることで生じます。

並列回路なので、$R_1$にかかる電圧$v$は、$R_2$にかかる電圧と等しくなります。

抵抗$R_1$に流れる電流を$I_1$、抵抗$R_2$に流れる電流を$I_2$とすると、

$J = I_1 + I_2$

$I_1 = \frac{v}{R_1}$

$I_2 = \frac{v}{R_2}$

よって、$J = \frac{v}{R_1} + \frac{v}{R_2}$

$v = J \cdot (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})^{-1} = J \cdot \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

キャパシタCは開放されているので、その電圧$v_C$は、$R_2$にかかる電圧と等しくなります。

したがって、$v_C = v$

3. 最終的な答え

$v = J \cdot \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

$v_C = J \cdot \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$