2種類の財（水 $x$ と食料 $y$）が存在する経済において、2人の消費者AさんとBさんがいます。Aさんは水12単位、Bさんは食料18単位を初期保有しています。Aさんの効用関数は $u_A = xy$ 、Bさんの効用関数は $u_B = x^2y$ で表されます。この経済における競争均衡を求めます。食料が価値尺度財であるため、$p$ は水の価格です。

1. 問題の内容

2種類の財（水 $x$ と食料 $y$）が存在する経済において、2人の消費者AさんとBさんがいます。Aさんは水12単位、Bさんは食料18単位を初期保有しています。Aさんの効用関数は $u_A = xy$ 、Bさんの効用関数は $u_B = x^2y$ で表されます。この経済における競争均衡を求めます。食料が価値尺度財であるため、$p$ は水の価格です。

2. 解き方の手順

競争均衡では、各消費者は予算制約の下で効用を最大化し、市場は清算されます。

(1) 消費者Aの効用最大化：

Aさんの予算制約は $px_A + y_A = 12p$ です。ラグランジュ関数を以下のように設定します。

$L_A = x_A y_A + \lambda_A (12p - px_A - y_A)$

一階条件は次の通りです。

$\frac{\partial L_A}{\partial x_A} = y_A - \lambda_A p = 0$

$\frac{\partial L_A}{\partial y_A} = x_A - \lambda_A = 0$

$\frac{\partial L_A}{\partial \lambda_A} = 12p - px_A - y_A = 0$

これらの式から、$y_A = \lambda_A p$ と $x_A = \lambda_A$ が得られます。したがって、$y_A = px_A$ です。これを予算制約に代入すると、

$px_A + px_A = 12p$

$2px_A = 12p$

$x_A = 6$

$y_A = 6p$

(2) 消費者Bの効用最大化：

Bさんの予算制約は $px_B + y_B = 18$ です。ラグランジュ関数を以下のように設定します。

$L_B = x_B^2 y_B + \lambda_B (18 - px_B - y_B)$

一階条件は次の通りです。

$\frac{\partial L_B}{\partial x_B} = 2x_B y_B - \lambda_B p = 0$

$\frac{\partial L_B}{\partial y_B} = x_B^2 - \lambda_B = 0$

$\frac{\partial L_B}{\partial \lambda_B} = 18 - px_B - y_B = 0$

これらの式から、$2x_B y_B = \lambda_B p$ と $x_B^2 = \lambda_B$ が得られます。したがって、$2x_B y_B = x_B^2 p$ となり、$y_B = \frac{1}{2} px_B$ です。これを予算制約に代入すると、

$px_B + \frac{1}{2} px_B = 18$

$\frac{3}{2} px_B = 18$

$x_B = \frac{12}{p}$

$y_B = 6$

(3) 市場清算条件：

水の市場清算条件は、$x_A + x_B = 12$ です。

$6 + \frac{12}{p} = 12$

$\frac{12}{p} = 6$

$p = 2$

食料の市場清算条件は、$y_A + y_B = 18$ です。

$6p + 6 = 18$

$6p = 12$

$p = 2$

したがって、$p=2$です。

(4) 均衡配分

$x_A = 6, y_A = 6p = 12$

$x_B = \frac{12}{p} = 6, y_B = 6$

3. 最終的な答え

競争均衡は、価格 $p = 2$ のとき、配分 $(x_A, y_A) = (6, 12)$ および $(x_B, y_B) = (6, 6)$ です。