ベクトル場 $\mathbf{A} = (y+z, -x-z, z)$ が与えられているとき、平面 $z = 0$ 上における $\mathbf{A}$ の様子を図示する問題です。

1. 問題の内容

ベクトル場 $\mathbf{A} = (y+z, -x-z, z)$ が与えられているとき、平面 $z = 0$ 上における $\mathbf{A}$ の様子を図示する問題です。

2. 解き方の手順

まず、平面 $z=0$ 上でのベクトル場 $\mathbf{A}$ を求めます。$z=0$ を $\mathbf{A}$ に代入すると、

$$$$

\mathbf{A}(x,y,0) = (y, -x, 0)

$$$$

となります。

次に、いくつかの点 $(x,y)$ におけるベクトル $\mathbf{A}(x,y,0)$ を計算し、図示します。

例えば、

* $(1,0)$ では $\mathbf{A}(1,0,0) = (0, -1, 0)$

* $(0,1)$ では $\mathbf{A}(0,1,0) = (1, 0, 0)$

* $(-1,0)$ では $\mathbf{A}(-1,0,0) = (0, 1, 0)$

* $(0,-1)$ では $\mathbf{A}(0,-1,0) = (-1, 0, 0)$

* $(1,1)$ では $\mathbf{A}(1,1,0) = (1, -1, 0)$

* $(-1,-1)$ では $\mathbf{A}(-1,-1,0) = (-1, 1, 0)$

これらのベクトルをxy平面上に矢印でプロットすることで、ベクトル場の様子を視覚的に表現できます。

これらの点を繋いで図示すると、原点(0,0)を中心とした時計回りの渦を描くベクトル場になります。

3. 最終的な答え

平面 $z=0$ 上のベクトル場 $\mathbf{A}$ は $\mathbf{A}(x,y,0) = (y, -x, 0)$ であり、xy平面上で時計回りの渦を形成します。この渦を図示することで、問題の答えとなります。