与えられた正弦波を複素数（フェーザ）表示に変換する問題です。 具体的には、以下の3つの正弦波について、複素数表示を求めます。 (1) $200\sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{3})$ (2) $\sqrt{2}(6 \sin(\omega t) + 8 \cos(\omega t))$ (3) $\sqrt{2}\{6 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4}) - 8 \cos(\omega t + \frac{\pi}{4})\}$

1. 問題の内容

与えられた正弦波を複素数（フェーザ）表示に変換する問題です。

具体的には、以下の3つの正弦波について、複素数表示を求めます。

(1) $200\sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{3})$

(2) $\sqrt{2}(6 \sin(\omega t) + 8 \cos(\omega t))$

(3) $\sqrt{2}\{6 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4}) - 8 \cos(\omega t + \frac{\pi}{4})\}$

2. 解き方の手順

正弦波 $A \sin(\omega t + \phi)$ の複素数表示は、$\frac{A}{\sqrt{2}} e^{j\phi}$または$\frac{A}{\sqrt{2}} \angle \phi$と表されます。

(1) $200\sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{3})$の場合:

振幅は$200\sqrt{2}$、位相は$\frac{\pi}{3}$です。

したがって、複素数表示は$\frac{200\sqrt{2}}{\sqrt{2}} e^{j\frac{\pi}{3}} = 200 e^{j\frac{\pi}{3}}$となります。

(2) $\sqrt{2}(6 \sin(\omega t) + 8 \cos(\omega t))$の場合:

まず、$6 \sin(\omega t) + 8 \cos(\omega t)$を合成します。

$6 \sin(\omega t) + 8 \cos(\omega t) = R \sin(\omega t + \alpha)$ とおくと、

$R = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

$\tan \alpha = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$\alpha = \arctan(\frac{4}{3})$

したがって、$\sqrt{2}(6 \sin(\omega t) + 8 \cos(\omega t)) = \sqrt{2} \times 10 \sin(\omega t + \arctan(\frac{4}{3})) = 10\sqrt{2} \sin(\omega t + \arctan(\frac{4}{3}))$

複素数表示は$\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}} e^{j\arctan(\frac{4}{3})} = 10 e^{j\arctan(\frac{4}{3})}$となります。

(3) $\sqrt{2}\{6 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4}) - 8 \cos(\omega t + \frac{\pi}{4})\}$の場合:

$\cos(\omega t + \frac{\pi}{4}) = \sin(\omega t + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}) = \sin(\omega t + \frac{3\pi}{4})$を用いて、

$\sqrt{2}\{6 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4}) - 8 \cos(\omega t + \frac{\pi}{4})\} = \sqrt{2}\{6 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4}) - 8 \sin(\omega t + \frac{3\pi}{4})\}$

$6 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4}) - 8 \cos(\omega t + \frac{\pi}{4}) = A \sin(\omega t + \frac{\pi}{4}) + B \cos(\omega t + \frac{\pi}{4})$とすると、

$A = 6, B = -8$。

$6 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4}) - 8 \cos(\omega t + \frac{\pi}{4}) = R \sin(\omega t + \frac{\pi}{4} + \alpha)$とおくと

$6 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4}) - 8 \cos(\omega t + \frac{\pi}{4}) = R [\sin(\omega t + \frac{\pi}{4}) \cos(\alpha) + \cos(\omega t + \frac{\pi}{4}) \sin(\alpha)]$

$R \cos \alpha = 6, R \sin \alpha = -8$

$R = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$

$\tan \alpha = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

$\alpha = \arctan(-\frac{4}{3})$

$\sqrt{2}\{6 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4}) - 8 \cos(\omega t + \frac{\pi}{4})\} = 10 \sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{4} + \arctan(-\frac{4}{3}))$

複素数表示は$\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}} e^{j(\frac{\pi}{4} + \arctan(-\frac{4}{3}))} = 10 e^{j(\frac{\pi}{4} + \arctan(-\frac{4}{3}))}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $200 e^{j\frac{\pi}{3}}$

(2) $10 e^{j\arctan(\frac{4}{3})}$

(3) $10 e^{j(\frac{\pi}{4} + \arctan(-\frac{4}{3}))}$