左図の回路において、電流 $I_1$ を電源電圧 $E_1$, $E_2$ および抵抗 $R_1$, $R_2$, $R_3$ の関数として表す式を導出する。

## クイズ2.3の解答

1. 問題の内容

左図の回路において、電流 $I_1$ を電源電圧 $E_1$, $E_2$ および抵抗 $R_1$, $R_2$, $R_3$ の関数として表す式を導出する。

2. 解き方の手順

まず、回路の各部分に流れる電流の関係と電圧の関係をキルヒホッフの法則を用いて記述します。

* キルヒホッフの電流則（KCL）：ノードにおける電流の流入と流出の合計は0である。

* キルヒホッフの電圧則（KVL）：閉回路における電圧の合計は0である。

ループ１（$E_1$, $R_1$, $R_3$を含むループ）：

$E_1 = R_1I_1 + R_3I_3$

ループ２（$E_2$, $R_2$, $R_3$を含むループ）：

$E_2 = R_2I_2 + R_3I_3$

ノードの電流の関係：

$I_1 = I_2 + I_3$

$I_2$と$I_3$を$I_1$で表します。

$I_3 = I_1 - I_2$なので、

$E_1 = R_1I_1 + R_3(I_1 - I_2)$

$E_2 = R_2I_2 + R_3(I_1 - I_2)$

上の式を整理して$I_2$について解くと

$E_1 = R_1I_1 + R_3I_1 - R_3I_2$より、$R_3I_2 = (R_1+R_3)I_1 - E_1$なので、

$I_2 = \frac{(R_1+R_3)I_1 - E_1}{R_3}$

$E_2 = R_2I_2 + R_3I_1 - R_3I_2$より、$I_2(R_2-R_3) = E_2 - R_3I_1$なので、

$I_2 = \frac{E_2 - R_3I_1}{R_2-R_3}$

$I_2$を消去して、$I_1$について解きます。

$\frac{(R_1+R_3)I_1 - E_1}{R_3} = \frac{E_2 - R_3I_1}{R_2-R_3}$

$(R_1+R_3)I_1 - E_1 = \frac{R_3(E_2 - R_3I_1)}{R_2-R_3}$

$(R_1+R_3)I_1(R_2-R_3) - E_1(R_2-R_3) = R_3E_2 - R_3^2I_1$

$(R_1R_2 - R_1R_3 + R_2R_3 - R_3^2)I_1 + R_3^2I_1 = R_3E_2 + E_1R_2 - E_1R_3$

$(R_1R_2 - R_1R_3 + R_2R_3)I_1 = R_3E_2 + E_1R_2 - E_1R_3$

したがって、

$I_1 = \frac{E_1R_2 - E_1R_3 + E_2R_3}{R_1R_2 - R_1R_3 + R_2R_3}$

3. 最終的な答え

$I_1 = \frac{E_1R_2 - E_1R_3 + E_2R_3}{R_1R_2 - R_1R_3 + R_2R_3}$