電圧 $v = 100\sqrt{2} \sin(100\pi t + \frac{\pi}{3})$ [V] と電流 $i = 20\sqrt{2} \sin(100\pi t - \frac{\pi}{6})$ [A] の正弦波交流の複素数表示（フェーザ表示）を求め、フェーザ図を描く問題です。

1. 問題の内容

電圧 $v = 100\sqrt{2} \sin(100\pi t + \frac{\pi}{3})$ [V] と電流 $i = 20\sqrt{2} \sin(100\pi t - \frac{\pi}{6})$ [A] の正弦波交流の複素数表示（フェーザ表示）を求め、フェーザ図を描く問題です。

2. 解き方の手順

正弦波交流を複素数表示（フェーザ表示）に変換します。一般的に、正弦波交流 $x(t) = X_m \sin(\omega t + \phi)$ は、複素数表示 $X = \frac{X_m}{\sqrt{2}}e^{j\phi}$ で表されます。ここで、$X_m$ は最大値、$\omega$ は角周波数、$\phi$ は位相です。

まず、電圧 $v$ を複素数表示にします。

電圧の最大値は $V_m = 100\sqrt{2}$ [V]、位相は $\phi_v = \frac{\pi}{3}$ です。

したがって、電圧の複素数表示 $V$ は、

$V = \frac{100\sqrt{2}}{\sqrt{2}} e^{j\frac{\pi}{3}} = 100 e^{j\frac{\pi}{3}}$ [V]

次に、電流 $i$ を複素数表示にします。

電流の最大値は $I_m = 20\sqrt{2}$ [A]、位相は $\phi_i = -\frac{\pi}{6}$ です。

したがって、電流の複素数表示 $I$ は、

$I = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{2}} e^{-j\frac{\pi}{6}} = 20 e^{-j\frac{\pi}{6}}$ [A]

フェーザ図は、複素平面上に電圧フェーザ $V$ と電流フェーザ $I$ を描いたものです。電圧フェーザは大きさが 100 で、実軸から $\frac{\pi}{3}$ の角度を持つベクトルとして描かれます。電流フェーザは大きさが 20 で、実軸から $-\frac{\pi}{6}$ の角度を持つベクトルとして描かれます。

3. 最終的な答え

電圧の複素数表示: $V = 100 e^{j\frac{\pi}{3}}$ [V]

電流の複素数表示: $I = 20 e^{-j\frac{\pi}{6}}$ [A]

フェーザ図：

- 実軸と虚軸を描きます。

- 長さ100のベクトルを実軸から$\pi/3$の方向に描きます (電圧V)。

- 長さ20のベクトルを実軸から$-\pi/6$の方向に描きます (電流I)。

- ベクトルの先端にそれぞれV, Iとラベルを付けます。