与えられた電圧 $v$ と電流 $i$ の正弦波交流について、複素数表示を求め、フェーザ図を描く。 電圧 $v = 100\sqrt{2} \sin(100\pi t + \frac{\pi}{3}) [V]$ 電流 $i = 20\sqrt{2} \sin(100\pi t - \frac{\pi}{6}) [A]$

1. 問題の内容

与えられた電圧 $v$ と電流 $i$ の正弦波交流について、複素数表示を求め、フェーザ図を描く。

電圧 $v = 100\sqrt{2} \sin(100\pi t + \frac{\pi}{3}) [V]$

電流 $i = 20\sqrt{2} \sin(100\pi t - \frac{\pi}{6}) [A]$

2. 解き方の手順

まず、正弦波交流の式を複素数表示（フェーザ表示）にする。一般に、正弦波 $A\sin(\omega t + \phi)$ は、$A$を振幅、$\omega$を角周波数、$\phi$を位相として、$A e^{j\phi}$ または $A \angle \phi$ で表される。ただし、有効値を用いる場合は$A/\sqrt{2}$で置き換える。

今回は$\sin$で与えられているので、一旦$\cos$に変換する必要がある。

$\sin(\theta) = \cos(\theta - \frac{\pi}{2})$の関係を用いると

$v = 100\sqrt{2} \cos(100\pi t + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2}) = 100\sqrt{2} \cos(100\pi t - \frac{\pi}{6}) [V]$

$i = 20\sqrt{2} \cos(100\pi t - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2}) = 20\sqrt{2} \cos(100\pi t - \frac{2\pi}{3}) [A]$

それぞれの有効値を計算する。

$V_{rms} = \frac{100\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 100 [V]$

$I_{rms} = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 20 [A]$

次に、複素数表示（フェーザ表示）を行う。

$V = 100 \angle -\frac{\pi}{6} [V]$

$I = 20 \angle -\frac{2\pi}{3} [A]$

フェーザ図は、複素平面上に電圧と電流をベクトルで図示したものである。

電圧 $V$ は実軸から $-\frac{\pi}{6}$ の方向に長さ100のベクトルとして描かれる。

電流 $I$ は実軸から $-\frac{2\pi}{3}$ の方向に長さ20のベクトルとして描かれる。

電圧と電流の位相差は $-\frac{\pi}{6} - (-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ である。電流は電圧に対して $\frac{\pi}{2}$ 遅れていることになる。

3. 最終的な答え

電圧の複素数表示：$V = 100 \angle -\frac{\pi}{6} [V]$

電流の複素数表示：$I = 20 \angle -\frac{2\pi}{3} [A]$

フェーザ図：（言葉で説明）

実軸（横軸）と虚軸（縦軸）を持つ複素平面上に、

長さ100で実軸から $-\frac{\pi}{6}$ の方向に電圧ベクトル $V$ を描き、

長さ20で実軸から $-\frac{2\pi}{3}$ の方向に電流ベクトル $I$ を描く。

電流ベクトルは電圧ベクトルに対して $\frac{\pi}{2}$ だけ遅れている。