長さ2m、60mm×30mmの長方形断面の軟鋼製の柱において、両端固定端のときの座屈荷重$W$と座屈応力$\sigma$を求めます。縦弾性係数$E$は206GPaです。

1. 問題の内容

長さ2m、60mm×30mmの長方形断面の軟鋼製の柱において、両端固定端のときの座屈荷重$W$と座屈応力$\sigma$を求めます。縦弾性係数$E$は206GPaです。

2. 解き方の手順

(1) 断面二次モーメント $I_0$ を計算します。

$I_0 = \frac{bh^3}{12} = \frac{60 \times 30^3}{12} = \frac{60 \times 27000}{12} = \frac{1620000}{12} = 135000$ mm$^4$

よって、(1)=60, (2)=30, (3)=12, (4)=135000

(2) 断面積 $A$ を計算します。

$A = 60 \times 30 = 1800$ mm$^2$

よって、(5)=60, (6)=30, (7)=1800

(3) 断面二次半径 $k_0$ を計算します。

$k_0 = \sqrt{\frac{I_0}{A}} = \sqrt{\frac{135000}{1800}} = \sqrt{75} \approx 8.66$ mm

よって、(8)=135000, (9)=1800, (10)=8.66

(4) 細長比 $\frac{l}{k_0}$ を計算します。$l$は柱の長さで、2m=2000mmです。

$\frac{l}{k_0} = \frac{2000}{8.66} \approx 231$

よって、(11)=2000, (12)=8.66, (13)=231

(5) 両端固定端の端末条件係数 $n$ は4です。

よって、(14)=4

(6) 軟鋼製柱の細長比の限界は100なので、オイラーの式を用います。

よって、(15)=231, (16)=100

(7) 座屈荷重 $W$ を計算します。$E=206$GPa$=206 \times 10^3$ MPa$=206 \times 10^3$ N/mm$^2$

$W = n\pi^2 \frac{EI_0}{l^2} = 4 \times \pi^2 \times \frac{206 \times 10^3 \times 135000}{2000^2} = 4 \times \pi^2 \times \frac{27810 \times 10^6}{4000000} = 4 \times \pi^2 \times 6952.5 = 27810 \times \pi^2 \approx 273755.6$ N

よって、(17)=4, (18)=206×10^3, (19)=135000, (20)=2000, (21)=273755.6, (22)=273.8

(8) 座屈応力 $\sigma$ を計算します。

$\sigma = \frac{W}{A} = \frac{273755.6}{1800} \approx 152.1$ MPa

よって、(23)=273755.6, (24)=1800, (25)=152.1, (26)=152.1

3. 最終的な答え

座屈荷重: 273.8 kN

座屈応力: 152.1 MPa