単純支持梁の最大曲げモーメントを求め、断面が幅30mmの長方形のときの高さを求めなさい。ただし、許容曲げ応力は60MPaとします。梁には、点Cに3kN、点Dに1.5kNの荷重がかかっています。点Aから点Cまでの距離は400mm、点Cから点Dまでの距離は800mm、点Dから点Bまでの距離は800mmです。

1. 問題の内容

単純支持梁の最大曲げモーメントを求め、断面が幅30mmの長方形のときの高さを求めなさい。ただし、許容曲げ応力は60MPaとします。梁には、点Cに3kN、点Dに1.5kNの荷重がかかっています。点Aから点Cまでの距離は400mm、点Cから点Dまでの距離は800mm、点Dから点Bまでの距離は800mmです。

2. 解き方の手順

(1) 反力 $R_A$ と $R_B$ を求める。

力のつり合いより、

$R_A + R_B = 3 + 1.5 = 4.5$ (kN)

点Bまわりのモーメントのつり合いより、

$R_A \times (400+800+800) = 3 \times (800+800) + 1.5 \times 800$

$R_A \times 2000 = 3 \times 1600 + 1.5 \times 800 = 4800 + 1200 = 6000$

$R_A = \frac{6000}{2000} = 3$ (kN)

したがって、

$R_B = 4.5 - R_A = 4.5 - 3 = 1.5$ (kN)

(2) 曲げモーメントを計算する。

点Aからxの位置での曲げモーメントを考える。

- 区間AC (0 < x < 400):

$M(x) = R_A \times x = 3x$ (kNmm)

x = 400 mmのとき、$M_C = 3 \times 400 = 1200$ kNmm

- 区間CD (400 < x < 1200):

$M(x) = R_A \times x - 3 \times (x - 400) = 3x - 3x + 1200 = 1200$ kNmm

x = 1200 mmのとき、$M_D = 1200$ kNmm

- 区間DB (1200 < x < 2000):

$M(x) = R_A \times x - 3 \times (x - 400) - 1.5 \times (x - 1200)$

$M(x) = 3x - 3x + 1200 - 1.5x + 1800 = 3000 - 1.5x$ kNmm

x = 1200 mmのとき、$M_D = 3000 - 1.5 \times 1200 = 3000 - 1800 = 1200$ kNmm

x = 2000 mmのとき、$M_B = 3000 - 1.5 \times 2000 = 3000 - 3000 = 0$ kNmm

最大曲げモーメントは、$M_{max} = 1200$ kNmm $= 1.2 \times 10^6$ Nmm

(3) 断面の高さを求める。

断面係数 $Z = \frac{bh^2}{6} = \frac{30h^2}{6} = 5h^2$

許容曲げ応力 $\sigma = \frac{M}{Z}$

$60 = \frac{1.2 \times 10^6}{5h^2}$

$h^2 = \frac{1.2 \times 10^6}{5 \times 60} = \frac{1.2 \times 10^6}{300} = 4000$

$h = \sqrt{4000} = 20\sqrt{10} \approx 63.25$ mm

3. 最終的な答え

最大曲げモーメント: 1.2 × 10^6 Nmm

断面の高さ: 63.25 mm