P, Q, Rの3つのプロジェクトがあり、各プロジェクトには12人ずつ、合計36人の社員が企画課と営業課から参加しています。各プロジェクトにおける企画課と営業課の社員数の差は3人以内であり、企画課の社員の方が多いのはPだけです。P, Q, R全体で、営業課の社員数の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

P, Q, Rの3つのプロジェクトがあり、各プロジェクトには12人ずつ、合計36人の社員が企画課と営業課から参加しています。各プロジェクトにおける企画課と営業課の社員数の差は3人以内であり、企画課の社員の方が多いのはPだけです。P, Q, R全体で、営業課の社員数の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、P, Q, Rの各プロジェクトにおける企画課の人数をそれぞれ$p$, $q$, $r$、営業課の人数をそれぞれ$s$, $t$, $u$とします。

各プロジェクトの参加人数は12人なので、

$p + s = 12$

$q + t = 12$

$r + u = 12$

また、合計36人の社員が参加しているので、

$p + q + r + s + t + u = 36$

企画課と営業課の社員数の差は3人以内なので、

$|p - s| \le 3$

$|q - t| \le 3$

$|r - u| \le 3$

企画課の社員の方が多いのはPだけなので、

$p \ge s$

$q \le t$

$r \le u$

合計の営業課の人数$s+t+u$を最大にするためには、$t$と$u$をできるだけ大きくする必要があります。

$|q - t| \le 3$ より、 $t - q \le 3$ なので、$t \le q+3$

$|r - u| \le 3$ より、 $u - r \le 3$ なので、$u \le r+3$

$q \le t$ と $r \le u$より、$12 - t \le t$ より $t \ge 6$

同様に、$12 - u \le u$ より $u \ge 6$

ここで、$s + t + u$を最大化したいので、$t$と$u$を可能な限り大きくします。$q \le t$かつ$r \le u$なので、$q$と$r$を小さくすることで、$t$と$u$を大きくできます。$q$と$r$を最小にするには、$q$と$r$を等しくし、差が3以内になるように$t$と$u$を設定します。

$q=r$とすると、$q=r=4.5$というような非整数はありえないので、$q=r=4$とすると、$t=8$と$u=8$とでき、$|q-t|=4$となり3以内を満たさないので$q$と$r$を5とすると$t=7$と$u=7$となり$|q-t|=2, |r-u|=2$を満たします。

このとき、$s = 12-p$, $t=7$, $u=7$なので、営業課の人数は$14+12-p = 26-p$

企画課の人数は $p+5+5 = p+10$

差の条件より、$p-s \le 3$, $p+s=12$　より、$2p \le 15$, $p \le 7.5$よって$p$の最大値は7であり、$s=5$

営業課の人数は$5+7+7 = 19$

$p$を小さくする。$p=6$, $s=6$とすると、営業課の人数は $6+7+7 = 20$。$p-s=0$

$p=5$, $s=7$とすると、営業課の人数は $7+7+7=21$で、$|p-s|=2$

$p=s=6$となるように$p=6$とすると、営業課の人数は$6+7+7=20$

ここで$q=5$, $r=5$, $p=6$とした。

もし$q=r=6$とすると$t=6$, $u=6$なので、営業課の人数は $6+6+6=18$

$t, u$の上限を考える。$|q-t| \le 3$より$t \le q+3$, また$q+t=12$

$t \le (12-t)+3$, $2t \le 15$, $t \le 7.5$, $t \le 7$

$u \le 7$

$q=5$の時$t=7$

$r=5$の時$u=7$

$p+s=12$, $|p-s| \le 3$　$p-s \le 3$

$p-(12-p) \le 3$, $2p \le 15$, $p \le 7.5$, $p=7$

$s=5$

$p+q+r+s+t+u=7+5+5+5+7+7 = 36$

営業課の人数$s+t+u = 5+7+7=19$

$p=8, s=4$ とすると$|p-s| = 4 > 3$ なので不可

$s,t,u$の最大化を考える

$q$が小さいほど$t$を大きくできる。$q=r$とする.

$p+s = 12$, $q+t = 12$, $r+u = 12$

$t \le 7, u \le 7$

$p = 7$のとき$s = 5$, $s+t+u=19$

$p=6$のとき$s=6$ $s+t+u = 20$

$p=5$のとき$s=7$ $s+t+u = 21$

$|p-s| \le 3$, $|5-7|=2$なのでOK

3. 最終的な答え

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