質量 $m$ の質点が、重力と速度の二乗に比例する抵抗力（慣性抵抗）を受けながら落下運動をする。鉛直下向きを正として、質点の位置を $y(t)$、速度を $v(t)$ とする。重力加速度の大きさを $g$、慣性抵抗の大きさを $F_I = \beta v^2$ ($\beta > 0$) とする。以下の問いに答えよ。 (a) 質点の運動方程式を書きなさい。 (b) 速度 $v(t)$ を求めなさい。 (c) 時間が十分に経過したとき ($t \gg \sqrt{\frac{m}{\beta g}}$) の終端速度 $v_\infty$ を求めなさい。 (d) 位置 $y(t)$ を求めなさい。 (e) 時間が十分に経過したとき ($t \gg \sqrt{\frac{m}{\beta g}}$) に、$y(t) \approx v_\infty t - \frac{m}{\beta} \log 2$ とかけることを示しなさい。 (f) 初期条件を $t=0$ で $v(0) = -v_0$ ($v_0 > 0$)として、質点を鉛直上方に投げ上げた場合の運動方程式を書きなさい。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が、重力と速度の二乗に比例する抵抗力（慣性抵抗）を受けながら落下運動をする。鉛直下向きを正として、質点の位置を $y(t)$、速度を $v(t)$ とする。重力加速度の大きさを $g$、慣性抵抗の大きさを $F_I = \beta v^2$ ($\beta > 0$) とする。以下の問いに答えよ。

(a) 質点の運動方程式を書きなさい。

(b) 速度 $v(t)$ を求めなさい。

(c) 時間が十分に経過したとき ($t \gg \sqrt{\frac{m}{\beta g}}$) の終端速度 $v_\infty$ を求めなさい。

(d) 位置 $y(t)$ を求めなさい。

(e) 時間が十分に経過したとき ($t \gg \sqrt{\frac{m}{\beta g}}$) に、$y(t) \approx v_\infty t - \frac{m}{\beta} \log 2$ とかけることを示しなさい。

(f) 初期条件を $t=0$ で $v(0) = -v_0$ ($v_0 > 0$)として、質点を鉛直上方に投げ上げた場合の運動方程式を書きなさい。

2. 解き方の手順

(a) 運動方程式を立てる。重力は下向きに $mg$、慣性抵抗は上向きに $\beta v^2$ なので、運動方程式は

$m \frac{dv}{dt} = mg - \beta v^2$

となる。

(b) (a)で得られた運動方程式を解く。

$m \frac{dv}{dt} = mg - \beta v^2$

$\frac{dv}{dt} = g - \frac{\beta}{m} v^2$

$\frac{dv}{g - \frac{\beta}{m} v^2} = dt$

$\int \frac{dv}{g - \frac{\beta}{m} v^2} = \int dt$

$\int \frac{dv}{g - \frac{\beta}{m} v^2} = \frac{1}{g} \int \frac{dv}{1 - \frac{\beta}{mg} v^2} = \frac{1}{g} \sqrt{\frac{mg}{\beta}} \operatorname{arctanh} \left( \sqrt{\frac{\beta}{mg}} v \right)$

$t + C = \sqrt{\frac{m}{\beta g}} \operatorname{arctanh} \left( \sqrt{\frac{\beta}{mg}} v \right)$

初期条件 $v(0) = 0$ より、$C = 0$。

$\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t = \operatorname{arctanh} \left( \sqrt{\frac{\beta}{mg}} v \right)$

$\tanh \left( \sqrt{\frac{\beta g}{m}} t \right) = \sqrt{\frac{\beta}{mg}} v$

$v(t) = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} \tanh \left( \sqrt{\frac{\beta g}{m}} t \right)$

(c) $t \gg \sqrt{\frac{m}{\beta g}}$ のとき、$\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t \gg 1$ となるので、$\tanh \left( \sqrt{\frac{\beta g}{m}} t \right) \approx 1$。したがって、

$v_\infty = \lim_{t \to \infty} v(t) = \sqrt{\frac{mg}{\beta}}$

(d) $y(t) = \int v(t) dt = \int \sqrt{\frac{mg}{\beta}} \tanh \left( \sqrt{\frac{\beta g}{m}} t \right) dt$

$y(t) = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} \cdot \sqrt{\frac{m}{\beta g}} \int \tanh \left( \sqrt{\frac{\beta g}{m}} t \right) d \left( \sqrt{\frac{\beta g}{m}} t \right)$

$y(t) = \frac{m}{\beta} \log \left( \cosh \left( \sqrt{\frac{\beta g}{m}} t \right) \right) + C'$

初期条件 $y(0) = 0$ より、$C' = 0$。

$y(t) = \frac{m}{\beta} \log \left( \cosh \left( \sqrt{\frac{\beta g}{m}} t \right) \right)$

(e) $t \gg \sqrt{\frac{m}{\beta g}}$ のとき、$e^{\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t} \gg 1$ であるから、

$\cosh \left( \sqrt{\frac{\beta g}{m}} t \right) = \frac{e^{\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t} + e^{-\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t}}{2} \approx \frac{1}{2} e^{\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t}$

$y(t) = \frac{m}{\beta} \log \left( \frac{1}{2} e^{\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t} \right) = \frac{m}{\beta} \left( \sqrt{\frac{\beta g}{m}} t - \log 2 \right) = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} t - \frac{m}{\beta} \log 2$

$y(t) \approx v_\infty t - \frac{m}{\beta} \log 2$

(f) 鉛直上向きを正とすると、重力は下向きに $mg$、慣性抵抗は速度と逆向きに働く。

$v < 0$ のとき、慣性抵抗は下向きに $\beta v^2$ となる。運動方程式は

$m \frac{dv}{dt} = -mg - \beta v^2$

3. 最終的な答え

(a) $m \frac{dv}{dt} = mg - \beta v^2$

(b) $v(t) = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} \tanh \left( \sqrt{\frac{\beta g}{m}} t \right)$

(c) $v_\infty = \sqrt{\frac{mg}{\beta}}$

(d) $y(t) = \frac{m}{\beta} \log \left( \cosh \left( \sqrt{\frac{\beta g}{m}} t \right) \right)$

(e) $y(t) \approx v_\infty t - \frac{m}{\beta} \log 2$

(f) $m \frac{dv}{dt} = -mg - \beta v^2$