質量 $m$ の質点が、重力と速度の二乗に比例する抵抗（慣性抵抗）を受けながら落下する運動について考える。落下運動の運動方程式を求め、その解として速度 $v(t)$ を求めよ。ただし、鉛直下向きを正とし、重力加速度の大きさを $g$、慣性抵抗の大きさを $F_1 = \beta v^2$ ($\beta > 0$)、初期条件として $t=0$ で $v(0) = 0$ とする。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が、重力と速度の二乗に比例する抵抗（慣性抵抗）を受けながら落下する運動について考える。落下運動の運動方程式を求め、その解として速度 $v(t)$ を求めよ。ただし、鉛直下向きを正とし、重力加速度の大きさを $g$、慣性抵抗の大きさを $F_1 = \beta v^2$ ($\beta > 0$)、初期条件として $t=0$ で $v(0) = 0$ とする。

2. 解き方の手順

(a) 運動方程式の導出

質点に働く力は、重力 $mg$ と慣性抵抗 $-\beta v^2$ である（鉛直下向きを正としているため、抵抗は負）。ニュートンの運動方程式 $F = ma$ より、

$m \frac{dv}{dt} = mg - \beta v^2$

これが運動方程式となる。

(b) 速度 $v(t)$ の導出

上記の微分方程式を解く。まず、変数分離を行う。

$\frac{dv}{dt} = g - \frac{\beta}{m} v^2$

$\frac{dv}{g - \frac{\beta}{m} v^2} = dt$

$\int \frac{dv}{g - \frac{\beta}{m} v^2} = \int dt$

左辺の積分を計算するために、定数 $a = \sqrt{\frac{mg}{\beta}}$ を導入する。すると

$\frac{\beta}{m} v^2 = \frac{g}{a^2} v^2$

$\int \frac{dv}{g - \frac{g}{a^2} v^2} = \int dt$

$\frac{1}{g} \int \frac{dv}{1 - \frac{v^2}{a^2}} = \int dt$

$\frac{1}{g} \int \frac{a^2 dv}{a^2 - v^2} = \int dt$

$\frac{a^2}{g} \int \frac{dv}{(a-v)(a+v)} = \int dt$

$\frac{a^2}{2ag} \int (\frac{1}{a+v} + \frac{1}{a-v}) dv = \int dt$

$\frac{a}{2g} (\int \frac{1}{a+v} dv + \int \frac{1}{a-v} dv ) = \int dt$

$\frac{a}{2g} ( \ln|a+v| - \ln|a-v|) = t + C$ (Cは積分定数)

$\frac{a}{2g} \ln|\frac{a+v}{a-v}| = t + C$

$\ln|\frac{a+v}{a-v}| = \frac{2gt}{a} + \frac{2gC}{a}$

$\frac{a+v}{a-v} = e^{\frac{2gt}{a} + \frac{2gC}{a}} = Ae^{\frac{2gt}{a}}$ (Aは積分定数)

初期条件 $v(0) = 0$ より、

$\frac{a+0}{a-0} = A e^0 = A = 1$

よって、

$\frac{a+v}{a-v} = e^{\frac{2gt}{a}}$

$a+v = (a-v) e^{\frac{2gt}{a}}$

$a+v = ae^{\frac{2gt}{a}} - ve^{\frac{2gt}{a}}$

$v(1 + e^{\frac{2gt}{a}}) = a(e^{\frac{2gt}{a}} - 1)$

$v = a \frac{e^{\frac{2gt}{a}} - 1}{e^{\frac{2gt}{a}} + 1}$

$v = a \frac{e^{\frac{gt}{a}} - e^{-\frac{gt}{a}}}{e^{\frac{gt}{a}} + e^{-\frac{gt}{a}}}$

$v(t) = a \tanh(\frac{gt}{a}) = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} \tanh(\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t)$

3. 最終的な答え

(a) 運動方程式: $m \frac{dv}{dt} = mg - \beta v^2$

(b) 速度: $v(t) = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} \tanh(\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t)$