質量 $m$ の質点が、重力加速度 $g$ の下で、初速度0で落下する。質点には重力と、速度の2乗に比例する慣性抵抗 $F_1 = \beta v^2$ (ただし $\beta > 0$) が働く。鉛直下向きを正の向きとし、落下開始位置を $y=0$ とする。このとき、以下の問に答える。 (a) 質点の運動方程式を立てる。 (b) 速度 $v(t)$ を求める。 (c) 時間 $t$ が十分に大きい場合($t \gg \sqrt{\frac{m}{\beta g}}$)の終端速度 $v_\infty$ を求める。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が、重力加速度 $g$ の下で、初速度0で落下する。質点には重力と、速度の2乗に比例する慣性抵抗 $F_1 = \beta v^2$ (ただし $\beta > 0$) が働く。鉛直下向きを正の向きとし、落下開始位置を $y=0$ とする。このとき、以下の問に答える。

(a) 質点の運動方程式を立てる。

(b) 速度 $v(t)$ を求める。

(c) 時間 $t$ が十分に大きい場合($t \gg \sqrt{\frac{m}{\beta g}}$)の終端速度 $v_\infty$ を求める。

2. 解き方の手順

(a) 運動方程式を立てる。鉛直下向きを正とすると、重力は $mg$、慣性抵抗は $- \beta v^2$ なので、運動方程式は

$$m \frac{dv}{dt} = mg - \beta v^2$$

となる。

(b) $v(t)$ を求める。運動方程式を変形すると、

$$\frac{dv}{dt} = g - \frac{\beta}{m} v^2$$

$$\frac{dv}{g - \frac{\beta}{m} v^2} = dt$$

積分すると

$$\int \frac{dv}{g - \frac{\beta}{m} v^2} = \int dt$$

左辺の積分を計算するために、$v = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} u$ と変数変換すると $dv = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} du$ となり、

$$\int \frac{\sqrt{\frac{mg}{\beta}} du}{g - \frac{\beta}{m} \frac{mg}{\beta} u^2} = \int \frac{\sqrt{\frac{mg}{\beta}} du}{g(1 - u^2)} = \sqrt{\frac{m}{\beta g}} \int \frac{du}{1-u^2} = \sqrt{\frac{m}{\beta g}} \frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+u}{1-u}\right|$$

したがって、

$$\sqrt{\frac{m}{\beta g}} \frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\sqrt{\frac{\beta}{mg}}v}{1-\sqrt{\frac{\beta}{mg}}v}\right| = t + C$$

初期条件 $v(0) = 0$ より $C = 0$ となるので、

$$\sqrt{\frac{m}{\beta g}} \frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\sqrt{\frac{\beta}{mg}}v}{1-\sqrt{\frac{\beta}{mg}}v}\right| = t$$

$$\ln \left(\frac{1+\sqrt{\frac{\beta}{mg}}v}{1-\sqrt{\frac{\beta}{mg}}v}\right) = 2\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t$$

$$\frac{1+\sqrt{\frac{\beta}{mg}}v}{1-\sqrt{\frac{\beta}{mg}}v} = e^{2\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t}$$

$$1+\sqrt{\frac{\beta}{mg}}v = e^{2\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t} \left(1-\sqrt{\frac{\beta}{mg}}v \right)$$

$$\sqrt{\frac{\beta}{mg}}v \left(1+e^{2\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t} \right) = e^{2\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t} -1$$

$$v(t) = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} \frac{e^{2\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t} -1}{e^{2\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t} + 1} = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} \tanh \left(\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t \right)$$

(c) $t \gg \sqrt{\frac{m}{\beta g}}$ のとき、$\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t \gg 1$ なので、

$$\lim_{t \to \infty} v(t) = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} \lim_{t \to \infty} \tanh \left(\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t \right) = \sqrt{\frac{mg}{\beta}}$$

したがって、終端速度は

$$v_\infty = \sqrt{\frac{mg}{\beta}}$$

3. 最終的な答え

(a) $m \frac{dv}{dt} = mg - \beta v^2$

(b) $v(t) = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} \tanh \left(\sqrt{\frac{\beta g}{m}} t \right)$

(c) $v_\infty = \sqrt{\frac{mg}{\beta}}$