海面から 29.4 m の高さから小球を初速度 24.5 m/s で鉛直上向きに投げ上げた。重力加速度の大きさを 9.8 m/s² とする。以下の問いに答えよ。 (1) 小球を投げ上げてから、海に落ちるまでの時間はいくらか。 (2) 小球が海面に達する直前の速さはいくらか。 (3) 海面から最高点までの高さはいくらか。

1. 問題の内容

海面から 29.4 m の高さから小球を初速度 24.5 m/s で鉛直上向きに投げ上げた。重力加速度の大きさを 9.8 m/s² とする。以下の問いに答えよ。

(1) 小球を投げ上げてから、海に落ちるまでの時間はいくらか。

(2) 小球が海面に達する直前の速さはいくらか。

(3) 海面から最高点までの高さはいくらか。

2. 解き方の手順

(1) 小球を投げ上げてから海に落ちるまでの時間

まず、鉛直上向きを正として、等加速度運動の公式を利用する。

変位 $x$、初速度 $v_0$、加速度 $a$、時間 $t$ の関係は以下で表される。

$x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$

今回の場合、初期位置を海面から 29.4 m の高さとし、最終位置を海面 (高さ 0 m) とするので、変位は -29.4 m となる。初速度は 24.5 m/s、加速度は重力加速度の負の値である -9.8 m/s² となる。

したがって、

$-29.4 = 24.5 t - \frac{1}{2} \times 9.8 t^2$

$-29.4 = 24.5 t - 4.9 t^2$

$4.9 t^2 - 24.5 t - 29.4 = 0$

両辺を 4.9 で割ると、

$t^2 - 5t - 6 = 0$

$(t - 6)(t + 1) = 0$

$t = 6, -1$

時間は負の値を取らないので、$t = 6$ s となる。

(2) 小球が海面に達する直前の速さ

等加速度運動の公式 $v = v_0 + at$ を利用する。

$v = 24.5 + (-9.8) \times 6$

$v = 24.5 - 58.8$

$v = -34.3$ m/s

速さなので絶対値を取り、34.3 m/s となる。

(3) 海面から最高点までの高さ

最高点では速度が 0 になる。

$v^2 - v_0^2 = 2ax$ を利用する。

$0^2 - 24.5^2 = 2 \times (-9.8) \times x$

$-600.25 = -19.6 x$

$x = \frac{600.25}{19.6} = 30.625$ m

これは、初めの位置から最高点までの変位なので、海面からの高さは

$29.4 + 30.625 = 60.025$ m となる。

3. 最終的な答え

(1) 6 s

(2) 34.3 m/s

(3) 60.025 m