地面から初速度 19.6 m/s で鉛直上向きに小球を投げ上げた。重力加速度の大きさを 9.8 m/s² とする。以下の問いに答える。 (1) 地上 14.7 m の点を小球が通り過ぎるのは何秒後か。 (2) 小球が最高点に達するまでの時間は何秒か。 (3) 最高点の高さは何 m か。 (4) 小球が再び地面に落ちてくるまでの時間と、そのときの速度をそれぞれ求めよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

地面から初速度 19.6 m/s で鉛直上向きに小球を投げ上げた。重力加速度の大きさを 9.8 m/s² とする。以下の問いに答える。

(1) 地上 14.7 m の点を小球が通り過ぎるのは何秒後か。

(2) 小球が最高点に達するまでの時間は何秒か。

(3) 最高点の高さは何 m か。

(4) 小球が再び地面に落ちてくるまでの時間と、そのときの速度をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 鉛直上向きを正とし、時刻 $t$ における小球の高さを $y$ とする。

等加速度運動の公式より、

$y = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$

ここに、$y = 14.7$, $v_0 = 19.6$, $g = 9.8$ を代入すると、

$14.7 = 19.6t - \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$

$14.7 = 19.6t - 4.9t^2$

$4.9t^2 - 19.6t + 14.7 = 0$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

$(t - 1)(t - 3) = 0$

$t = 1, 3$

したがって、1 秒後と 3 秒後。

(2) 最高点では速度が 0 となる。

等加速度運動の公式より、

$v = v_0 - gt$

ここに、$v = 0$, $v_0 = 19.6$, $g = 9.8$ を代入すると、

$0 = 19.6 - 9.8t$

$9.8t = 19.6$

$t = 2$

したがって、2 秒後。

(3) 等加速度運動の公式より、

$y = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$

ここに、$v_0 = 19.6$, $t = 2$, $g = 9.8$ を代入すると、

$y = 19.6 \times 2 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 2^2$

$y = 39.2 - 19.6$

$y = 19.6$

したがって、19.6 m。

(4) 再び地面に落ちるまでの時間：

投げ上げた位置に戻るので、変位は0となる。

$0 = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$

$0 = 19.6t - \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$

$0 = 19.6t - 4.9t^2$

$0 = t(19.6 - 4.9t)$

$t = 0, \frac{19.6}{4.9} = 4$

したがって、4 秒後。

そのときの速度：

$v = v_0 - gt$

ここに、$v_0 = 19.6$, $t = 4$, $g = 9.8$ を代入すると、

$v = 19.6 - 9.8 \times 4$

$v = 19.6 - 39.2$

$v = -19.6$

したがって、-19.6 m/s (下向き)。

3. 最終的な答え

(1) 1 秒後と 3 秒後

(2) 2 秒後

(3) 19.6 m

(4) 4 秒後、-19.6 m/s (下向き)