ある高さのビルの屋上から、鉛直上向きに速さ $9.8 \ m/s$ で小球を投げ上げたところ、3.0秒後に地面に達した。重力加速度の大きさを $9.8 \ m/s^2$ として、以下の問いに答えよ。 (1) 小球を投げ上げてから最高点に達するまでの時間と、屋上から最高点までの高さを求めよ。 (2) 小球が地面に達する直前の速さを求めよ。 (3) 地面からのビルの高さを求めよ。

## 数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

ある高さのビルの屋上から、鉛直上向きに速さ $9.8 \ m/s$ で小球を投げ上げたところ、3.0秒後に地面に達した。重力加速度の大きさを $9.8 \ m/s^2$ として、以下の問いに答えよ。

(1) 小球を投げ上げてから最高点に達するまでの時間と、屋上から最高点までの高さを求めよ。

(2) 小球が地面に達する直前の速さを求めよ。

(3) 地面からのビルの高さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 最高点では速度が0になることを利用する。鉛直上向きを正とする。

等加速度運動の公式 $v = v_0 + at$ を用いる。ここで、$v$ は最高点での速度（$0 \ m/s$）、$v_0$ は初速度（$9.8 \ m/s$）、$a$ は加速度（$-9.8 \ m/s^2$）である。時間を $t$ とすると、

$0 = 9.8 - 9.8t$

これを解くと、

$t = 1.0 \ s$

屋上から最高点までの高さ $h$ は、等加速度運動の公式 $h = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ を用いる。

$h = 9.8 \times 1.0 + \frac{1}{2} \times (-9.8) \times 1.0^2$

$h = 9.8 - 4.9 = 4.9 \ m$

(2) 小球が地面に達する直前の速度 $v$ を求める。等加速度運動の公式 $v = v_0 + at$ を用いる。ここで、$v_0$ は初速度（$9.8 \ m/s$）、$a$ は加速度（$-9.8 \ m/s^2$）、$t$ は時間（$3.0 \ s$）である。

$v = 9.8 + (-9.8) \times 3.0$

$v = 9.8 - 29.4 = -19.6 \ m/s$

速度の大きさは $19.6 \ m/s$

(3) 地面からのビルの高さを求める。初速度 $v_0 = 9.8 \ m/s$、時間 $t = 3.0 \ s$、加速度 $a = -9.8 \ m/s^2$ として、変位 $y$ を求める。

$y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$

$y = 9.8 \times 3.0 + \frac{1}{2} \times (-9.8) \times 3.0^2$

$y = 29.4 - 4.9 \times 9 = 29.4 - 44.1 = -14.7 \ m$

したがって、地面からのビルの高さは $14.7 \ m$ である。

3. 最終的な答え

(1) 最高点に達するまでの時間: $1.0 \ s$、屋上から最高点までの高さ: $4.9 \ m$

(2) 地面に達する直前の速さ: $19.6 \ m/s$

(3) 地面からのビルの高さ: $14.7 \ m$