与えられた式 (9) $x = A \cos \omega t + B \sin \omega t$ を、式 (10) $x = D \cos (\omega t + \delta)$ または式 (11) $x = E \sin (\omega t + \phi)$ の形に変形する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 (9) $x = A \cos \omega t + B \sin \omega t$ を、式 (10) $x = D \cos (\omega t + \delta)$ または式 (11) $x = E \sin (\omega t + \phi)$ の形に変形する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = A \cos \omega t + B \sin \omega t$ を次のように変形します。

$x = \sqrt{A^2 + B^2} \left( \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} \cos \omega t + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} \sin \omega t \right)$

ここで、

$\cos \delta = \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

$\sin \delta = \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

となるような$\delta$を定義します。すると、

$x = \sqrt{A^2 + B^2} ( \cos \delta \cos \omega t + \sin \delta \sin \omega t )$

三角関数の加法定理より $\cos(\omega t + \delta) = \cos \omega t \cos \delta - \sin \omega t \sin \delta$ ですが、今回は $\cos(\delta - \omega t) = \cos \delta \cos \omega t + \sin \delta \sin \omega t$ を利用します。

よって、

$x = \sqrt{A^2 + B^2} \cos (\omega t - \delta)$となります。

ここで、$\delta'$ = -$\delta$とおくと、

$x = \sqrt{A^2 + B^2} \cos (\omega t + \delta')$

となります。

ここで$D = \sqrt{A^2 + B^2}$とおけば、$x = D \cos(\omega t + \delta')$ となります。

次に、$\sin$の形に変形するために、

$\sin \phi = \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

$\cos \phi = \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

となるような$\phi$を定義します。

$x = \sqrt{A^2 + B^2} ( \sin \phi \cos \omega t + \cos \phi \sin \omega t )$

三角関数の加法定理より $\sin(\omega t + \phi) = \sin \omega t \cos \phi + \cos \omega t \sin \phi$ を利用すると、

$x = \sqrt{A^2 + B^2} \sin (\omega t + \phi)$

ここで、$E = \sqrt{A^2 + B^2}$とおけば、$x = E \sin(\omega t + \phi)$ となります。

ここで、$\delta = \arctan{\frac{B}{A}}$、$\phi = \arctan{\frac{A}{B}}$である。

3. 最終的な答え

$x = \sqrt{A^2 + B^2} \cos \left( \omega t - \arctan{\frac{B}{A}} \right)$

または

$x = \sqrt{A^2 + B^2} \sin \left( \omega t + \arctan{\frac{A}{B}} \right)$

$D = \sqrt{A^2 + B^2}$

$E = \sqrt{A^2 + B^2}$

$\delta = -\arctan{\frac{B}{A}}$

$\phi = \arctan{\frac{A}{B}}$