地面から速さ $19.6\ \text{m/s}$ で小球を鉛直上向きに投げ上げた。重力加速度の大きさを $9.8\ \text{m/s}^2$ とする。 (1) 地上 $14.7\ \text{m}$ の点を小球が通り過ぎるのは何秒後か。 (2) 小球が最高点に達するまでの時間は何秒か。 (3) 最高点の高さは何メートルか。

1. 問題の内容

地面から速さ $19.6\ \text{m/s}$ で小球を鉛直上向きに投げ上げた。重力加速度の大きさを $9.8\ \text{m/s}^2$ とする。

(1) 地上 $14.7\ \text{m}$ の点を小球が通り過ぎるのは何秒後か。

(2) 小球が最高点に達するまでの時間は何秒か。

(3) 最高点の高さは何メートルか。

2. 解き方の手順

(1) 鉛直投げ上げの変位の式は

$y = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$

ここで、$y = 14.7\ \text{m}$、$v_0 = 19.6\ \text{m/s}$、$g = 9.8\ \text{m/s}^2$ であるから、

$14.7 = 19.6 t - \frac{1}{2} (9.8) t^2$

$14.7 = 19.6 t - 4.9 t^2$

$4.9 t^2 - 19.6 t + 14.7 = 0$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

$(t - 1)(t - 3) = 0$

$t = 1, 3$

小球が14.7mの点を通り過ぎるのは、上昇時と下降時の2回ある。したがって、1秒後と3秒後。

(2) 最高点では速度が0となる。鉛直投げ上げの速度の式は

$v = v_0 - gt$

ここで、$v = 0$、$v_0 = 19.6\ \text{m/s}$、$g = 9.8\ \text{m/s}^2$ であるから、

$0 = 19.6 - 9.8t$

$9.8t = 19.6$

$t = 2$

したがって、2秒後に最高点に達する。

(3) 最高点の高さを求める。鉛直投げ上げの変位の式は

$y = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$

ここで、$v_0 = 19.6\ \text{m/s}$、$g = 9.8\ \text{m/s}^2$、$t = 2\ \text{s}$ であるから、

$y = (19.6)(2) - \frac{1}{2} (9.8)(2^2) = 39.2 - 19.6 = 19.6$

したがって、最高点の高さは $19.6\ \text{m}$。

あるいは、

$v^2 - v_0^2 = -2gy$

$0^2 - (19.6)^2 = -2(9.8)y$

$y = \frac{(19.6)^2}{2(9.8)} = \frac{(19.6)(19.6)}{19.6} = 19.6$

したがって、最高点の高さは $19.6\ \text{m}$。

3. 最終的な答え

(1) 1秒後と3秒後

(2) 2秒

(3) 19.6 m