地面から初速度 $v_0$ で鉛直上向きに投げ上げられた小球が、地上からの高さ $h$ の点を通過するときの速さ $v$ を求める問題です。重力加速度の大きさは $g$ とします。

1. 問題の内容

地面から初速度 $v_0$ で鉛直上向きに投げ上げられた小球が、地上からの高さ $h$ の点を通過するときの速さ $v$ を求める問題です。重力加速度の大きさは $g$ とします。

2. 解き方の手順

エネルギー保存則を利用します。

小球が地上にあるときを基準とし、運動エネルギーと位置エネルギーの和は常に一定であると考えます。

地上で投げ上げられた直後の全エネルギー $E_1$ は、運動エネルギーのみで表され、

$E_1 = \frac{1}{2}mv_0^2$

高さ $h$ の点を通過するときの全エネルギー $E_2$ は、運動エネルギーと位置エネルギーの和で表され、

$E_2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$

エネルギー保存則より $E_1 = E_2$ なので、

$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$

この式から $v$ を求めます。

まず両辺を $m$ で割ります。

$\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}v^2 + gh$

次に両辺に2をかけます。

$v_0^2 = v^2 + 2gh$

$v^2$ について解くと、

$v^2 = v_0^2 - 2gh$

したがって、

$v = \sqrt{v_0^2 - 2gh}$

3. 最終的な答え

$v = \sqrt{v_0^2 - 2gh}$