流れの速さが 3.0 m/s の川を、静水で 6.0 m/s の速さで進む船で移動する。 (1) 川の上流と下流に 72 m 離れた点 A と点 B を往復するのにかかる時間 $t_1$ (上り) と $t_2$ (下り) をそれぞれ求める。 (2) この船で川を直角に横切りたい。船のへさきを向けるべき角度 $\theta$ を求める。 (3) (2) のとき、川幅 72 m を横切るのに要する時間 $t$ を求める。

1. 問題の内容

流れの速さが 3.0 m/s の川を、静水で 6.0 m/s の速さで進む船で移動する。

(1) 川の上流と下流に 72 m 離れた点 A と点 B を往復するのにかかる時間 $t_1$ (上り) と $t_2$ (下り) をそれぞれ求める。

(2) この船で川を直角に横切りたい。船のへさきを向けるべき角度 $\theta$ を求める。

(3) (2) のとき、川幅 72 m を横切るのに要する時間 $t$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 上りの時間 $t_1$ を求める。

上りでは、船の速度から川の流れの速度を引いたものが、実際に進む速度になる。

$v_{up} = 6.0 - 3.0 = 3.0 \, \text{m/s}$

$t_1 = \frac{72}{3.0} = 24 \, \text{s}$

下りの時間 $t_2$ を求める。

下りでは、船の速度に川の流れの速度を加えたものが、実際に進む速度になる。

$v_{down} = 6.0 + 3.0 = 9.0 \, \text{m/s}$

$t_2 = \frac{72}{9.0} = 8 \, \text{s}$

(2) 川を直角に横切る場合、船の速度の川の流れ方向の成分と川の流れの速度が打ち消し合う必要がある。

船の速度を $v_b$ 、川の流れの速度を $v_c$ とする。船の速度の川の流れ方向の成分は $v_b \sin\theta$ である。したがって、

$v_b \sin\theta = v_c$

$\sin\theta = \frac{v_c}{v_b} = \frac{3.0}{6.0} = \frac{1}{2}$

$\theta = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$

(3) 川幅を横切る方向の速度は、

$v_{\perp} = v_b \cos\theta = 6.0 \cos 30^\circ = 6.0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \, \text{m/s}$

川幅 72 m を横切る時間は、

$t = \frac{72}{3\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \, \text{s} \approx 13.86 \, \text{s}$

3. 最終的な答え

(1) $t_1 = 24 \, \text{s}$, $t_2 = 8 \, \text{s}$

(2) $\theta = 30^\circ$

(3) $t = 8\sqrt{3} \, \text{s}$