ボールを発射する問題を解き、発射角度が45°と30°の場合における水平距離を比較し、どちらの角度で発射した方が水平距離が長くなるかを答える。

1. 問題の内容

ボールを発射する問題を解き、発射角度が45°と30°の場合における水平距離を比較し、どちらの角度で発射した方が水平距離が長くなるかを答える。

2. 解き方の手順

まず、ボールの初速度を $v$ とします。発射角度を $\theta$ とします。重力加速度を $g$ とします。

水平方向の速度は $v\cos\theta$ で、鉛直方向の速度は $v\sin\theta$ です。

ボールが地面に落下するまでの時間は、鉛直方向の運動を考えることで求められます。

$v\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = 0$

$t(v\sin\theta - \frac{1}{2}gt) = 0$

$t = 0$ または $t = \frac{2v\sin\theta}{g}$

$t = 0$ は発射時なので、地面に落下するまでの時間は $t = \frac{2v\sin\theta}{g}$ です。

水平距離 $L$ は、水平方向の速度と時間の積で求められます。

$L = v\cos\theta \cdot t = v\cos\theta \cdot \frac{2v\sin\theta}{g} = \frac{2v^2\sin\theta\cos\theta}{g} = \frac{v^2\sin(2\theta)}{g}$

発射角度が45°の場合：

$\theta = 45^\circ$ のとき、 $L_{45} = \frac{v^2\sin(2\cdot45^\circ)}{g} = \frac{v^2\sin(90^\circ)}{g} = \frac{v^2}{g}$

したがって、ケコ = $v^2/g$, サ = 0

発射角度が30°の場合：

$\theta = 30^\circ$ のとき、 $L_{30} = \frac{v^2\sin(2\cdot30^\circ)}{g} = \frac{v^2\sin(60^\circ)}{g} = \frac{v^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{g} = \frac{\sqrt{3}v^2}{2g}$

したがって、シス = $\sqrt{3}v^2/2g$, セ = 0

$L_{45} = \frac{v^2}{g}$ と $L_{30} = \frac{\sqrt{3}v^2}{2g}$ を比較します。

$\frac{L_{30}}{L_{45}} = \frac{\frac{\sqrt{3}v^2}{2g}}{\frac{v^2}{g}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} \approx 0.866 < 1$

したがって、$L_{30} < L_{45}$ です。

3. 最終的な答え

① ボールを水平方向から45°の方向に発射した方が、水平方向から30°の方向に発射するより、ボールが地面に落下するまでの間に進んだ水平距離が長い