半径 $a$, 長さ $l$, 質量 $M$ の一様な円柱の中心軸の周りの慣性モーメントを求める。

1. 問題の内容

半径 $a$, 長さ $l$, 質量 $M$ の一様な円柱の中心軸の周りの慣性モーメントを求める。

2. 解き方の手順

円柱を厚さ $dz$ の薄い円板の集まりと考える。円柱の密度 $\rho$ は、

$\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi a^2 l}$

である。

厚さ $dz$ の円板の質量 $dm$ は、

$dm = \rho dV = \rho (\pi a^2 dz) = \frac{M}{\pi a^2 l} \pi a^2 dz = \frac{M}{l} dz$

となる。

この薄い円板の、中心軸周りの慣性モーメント $dI$ は、

$dI = \frac{1}{2} dm a^2 = \frac{1}{2} \frac{M}{l} dz a^2 = \frac{Ma^2}{2l} dz$

となる。

円柱全体の慣性モーメント $I$ は、この $dI$ を円柱の長さに沿って積分することで求まる。積分範囲は $0$ から $l$ である。

$I = \int_0^l dI = \int_0^l \frac{Ma^2}{2l} dz = \frac{Ma^2}{2l} \int_0^l dz = \frac{Ma^2}{2l} [z]_0^l = \frac{Ma^2}{2l} (l - 0) = \frac{1}{2} Ma^2$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} Ma^2$