傾斜角$\theta$がつけられた半径50mのカーブを自動車が曲がる。雨の影響で自動車と路面との摩擦はないものとする。重力加速度の大きさは$9.8 \ m/s^2$とする。 (i) 傾斜角$\theta = 20^\circ$のとき、自動車が横滑りをせずに曲がるための自動車の速度を求める。ただし、$tan 20^\circ = 0.3640$である。 (ii) 自動車が横滑りをせずにカーブを曲がるのに摩擦に頼らなくても済むようにカーブ路を設計したい。カーブを通過する自動車の速さが$13.4 \ m/s$であるとき、カーブの道路面に何度傾斜角をつければよいか。傾斜角$\theta$（または$tan \theta$）を求める。

1. 問題の内容

傾斜角$\theta$がつけられた半径50mのカーブを自動車が曲がる。雨の影響で自動車と路面との摩擦はないものとする。重力加速度の大きさは$9.8 \ m/s^2$とする。

(i) 傾斜角$\theta = 20^\circ$のとき、自動車が横滑りをせずに曲がるための自動車の速度を求める。ただし、$tan 20^\circ = 0.3640$である。

(ii) 自動車が横滑りをせずにカーブを曲がるのに摩擦に頼らなくても済むようにカーブ路を設計したい。カーブを通過する自動車の速さが$13.4 \ m/s$であるとき、カーブの道路面に何度傾斜角をつければよいか。傾斜角$\theta$（または$tan \theta$）を求める。

2. 解き方の手順

(i)

自動車にはたらく力は、重力$mg$と垂直抗力$N$である。

垂直抗力の水平成分が向心力となるので、運動方程式は以下のようになる。

$N \sin \theta = m \frac{v^2}{r}$

垂直抗力の鉛直成分は重力と釣り合うので、

$N \cos \theta = mg$

これらの式から$N$を消去すると、

$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{v^2}{gr}$

$tan \theta = \frac{v^2}{gr}$

$v = \sqrt{gr \ tan \theta}$

$\theta = 20^\circ$, $r = 50 \ m$, $g = 9.8 \ m/s^2$, $tan 20^\circ = 0.3640$を代入すると、

$v = \sqrt{9.8 \times 50 \times 0.3640} = \sqrt{178.36} \approx 13.355 \ m/s$

(ii)

(i)と同様に考えると、

$tan \theta = \frac{v^2}{gr}$

$v = 13.4 \ m/s$, $r = 50 \ m$, $g = 9.8 \ m/s^2$を代入すると、

$tan \theta = \frac{(13.4)^2}{9.8 \times 50} = \frac{179.56}{490} \approx 0.36645$

3. 最終的な答え

(i) 自動車の速度：約$13.4 \ m/s$

(ii) 傾斜角$\theta$：$tan \theta \approx 0.366$