空欄1～5に当てはまる選択肢を1～10の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

空欄1～5に当てはまる選択肢を1～10の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、問題文に書かれている数式を確認します。

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \left( \frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L \right) \left( \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L \right) = \boxed{2} \left( \boxed{3} - P_L \right)$

この式から、空欄2と3を埋める必要があります。

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \left( \frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L \right) \left( \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L \right)$

$s_{PQ}$ は $w_{i0}$ をウェイトとする $\frac{P_{it}}{P_{i0}}$ と $\frac{Q_{it}}{Q_{i0}}$ の共分散なので、それぞれの偏差の積の期待値です。

共分散の式を展開すると、以下のようになります。

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \left( \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - \frac{P_{it}}{P_{i0}} Q_L - P_L \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} + P_L Q_L \right)$

$= \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} + P_L Q_L \sum_{i=1}^{n} w_{i0}$

ここで、

$\sum_{i=1}^{n} w_{i0} = 1$

$\sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} = P_L$

$\sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} = Q_L$

であるので、

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L P_L - P_L Q_L + P_L Q_L$

$= \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - P_L Q_L$

問題文より、

$P_P = \frac{\sum_{i=1}^{n} P_{it} Q_{it}}{\sum_{i=1}^{n} P_{i0} Q_{i0}} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}}$

したがって、

$s_{PQ} = P_P - P_L Q_L$

与えられた式 $s_{PQ} = \boxed{2} \left( \boxed{3} - P_L \right)$ と比較すると、

$P_P - P_L Q_L = \boxed{2} \left( \boxed{3} - P_L \right)$

問題文の次の式

$\frac{P_P - \boxed{4}}{P_L} = r \frac{s_P}{s_Q} = \frac{s_{PQ}}{s_P s_Q} \frac{s_P}{s_Q} = \frac{s_{PQ}}{s_Q^2}$

より、$r= \frac{s_{PQ}}{s_P s_Q} = \boxed{10}$

$r = \frac{s_{PQ}}{s_P s_Q} = \frac{P_P - P_L Q_L}{s_P s_Q}$

$s_{PQ} = r s_P s_Q$

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \left( \frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L \right) \left( \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L \right)$

選択肢から2と3を選ぶと、$P_P$と$Q_L$になりそうですが、まだ確証がありません。

そこで、$P_L>P_P$という条件を使うと、問題文の導かれる関係式から$s_{PQ}$が負になるような組み合わせを選べば良さそうです。

問題文にある$P_P - \frac{4}{P_L}= r\frac{s_p s_Q}{5}$より、$\frac{4}{P_L}$は定数項なので、$\boxed{4}=P_P$。

また、$\frac{P_P - P_P}{P_L}$が0でなければならないので、$\boxed{5}=Q_L$。

$\frac{P_P - P_P}{P_L}=0 = r\frac{s_p s_Q}{Q_L}$となる。

選択肢の中で$r$に対応するのは$\boxed{10}$しかないので、$\boxed{10}$に決定。

次に$\boxed{2}$と$\boxed{3}$を決定するために、$\sum_{i=1}^{n} w_{i0} \left( \frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L \right) \left( \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L \right)$の式に戻ると、$P_P - P_L Q_L = \boxed{5}(\boxed{P_P}-P_L)$という形にしたいので、$\boxed{3}=Q_L$で$\boxed{2}=P_P$

最後に、

$P_P - \frac{P_P}{P_L} = r \frac{s_P s_Q}{Q_L} = \frac{P_P - P_L Q_L}{s_P s_Q} \frac{s_P s_Q}{Q_L}$

$P_P - \frac{P_P}{P_L} = \frac{P_P - P_L Q_L}{Q_L}$

$P_P Q_L - \frac{P_P Q_L}{P_L} = P_P - P_L Q_L$

$P_P (Q_L - 1) = P_L(Q_L - \frac{Q_L}{P_L})$

3. 最終的な答え

1: 3

2: 5

3: 2

4: 3

5: 10