制約条件 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ の下で、関数 $f(x, y) = xy$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

制約条件 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ の下で、関数 $f(x, y) = xy$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

ラグランジュの未定乗数法を用いて問題を解きます。

ラグランジュ関数を以下のように定義します。

$F(x, y, \lambda) = xy - \lambda(x^2 + y^2 - 1)$

各変数で偏微分し、0 とおきます。

$F_x = y - 2\lambda x = 0$ ...(1)

$F_y = x - 2\lambda y = 0$ ...(2)

$F_\lambda = -(x^2 + y^2 - 1) = 0$ ...(3)

(1) より、$y = 2\lambda x$

(2) より、$x = 2\lambda y$

(1) を (2) に代入すると、$x = 2\lambda(2\lambda x) = 4\lambda^2 x$

$x(1 - 4\lambda^2) = 0$

したがって、$x = 0$ または $4\lambda^2 = 1$, つまり $\lambda = \pm \frac{1}{2}$

もし $x = 0$ ならば、(1) より $y = 0$ となります。しかし、$x = 0$ かつ $y = 0$ を (3) に代入すると $0^2 + 0^2 - 1 = -1 = 0$ となり、矛盾します。したがって、$x \neq 0$ です。

$\lambda = \pm \frac{1}{2}$ の場合、(1) より、$y = 2(\pm \frac{1}{2})x = \pm x$

$y = \pm x$ を (3) に代入すると、

$x^2 + (\pm x)^2 - 1 = 0$

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$y = \pm x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ （複合同順）

したがって、候補となる点は $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ です。

それぞれの点で $f(x, y) = xy$ の値を計算します。

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2}$

$f(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2}$

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{1}{2}$

$f(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{1}{2}$

最大値は $\frac{1}{2}$ で、最小値は $-\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{1}{2}$

最小値: $-\frac{1}{2}$