制約条件 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ の下で、$f(x,y) = xy$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

制約条件 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ の下で、$f(x,y) = xy$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ラグランジュの未定乗数法を用いて解きます。

ラグランジュ関数を $F(x, y, \lambda) = xy - \lambda(x^2 + y^2 - 1)$ と定義します。

偏微分を計算すると、

$F_x = y - 2\lambda x = 0$ ...(1)

$F_y = x - 2\lambda y = 0$ ...(2)

$F_\lambda = -(x^2 + y^2 - 1) = 0$ ...(3)

(1)式と(2)式より、

$y = 2\lambda x$

$x = 2\lambda y$

これらを連立して解くと、

$y = 2\lambda (2\lambda y) = 4\lambda^2 y$

したがって、$4\lambda^2 = 1$ もしくは $y = 0$

$y = 0$ のとき、$x = 0$ となるが、(3)式を満たさないので、$y \neq 0$.

よって、$4\lambda^2 = 1$ より、$\lambda = \pm \frac{1}{2}$

$\lambda = \frac{1}{2}$ のとき、$y = x$

$\lambda = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = -x$

これらを(3)式に代入して、

$x^2 + (\pm x)^2 - 1 = 0$

$2x^2 = 1$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$y = \mp \frac{1}{\sqrt{2}}$ (複合同順)

したがって、$(x, y) = (\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \pm \frac{1}{\sqrt{2}}), (\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \mp \frac{1}{\sqrt{2}})$ (複合同順)

$f(x,y)$ の値を計算すると、

$(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ のとき、$f(x,y) = \frac{1}{2}$

$(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ のとき、$f(x,y) = \frac{1}{2}$

$(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ のとき、$f(x,y) = -\frac{1}{2}$

$(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ のとき、$f(x,y) = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{1}{2}$

最小値: $-\frac{1}{2}$